動態規划之01背包詳解【解題報告】

01背包問題，是用來介紹動態規划算法最經典的例子，網上關於01背包問題的講解也很多，我寫這篇文章力爭做到用最簡單的方式，最少的公式把01背包問題講解透徹。

01背包的狀態轉換方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重為 j 的背包中，可以取得的最大價值。

Pi表示第i件物品的價值。

決策：為了背包中物品總價值最大化，第 i件物品應該放入背包中嗎 ？

 

題目描述：

有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的背包，如何讓背包里裝入的物品具有最大的價值總和？

 

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

 

只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01背包的動態規划算法。

首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。

為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的背包，那么這個背包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，背包裝不了。

對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的背包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個背包能裝的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

對於承重為8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根據01背包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，

一個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另一個是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在這里，

 f[i-1,j]表示我有一個承重為8的背包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個背包能裝入的最大價值

f[i-1,j-Wi]表示我有一個承重為6的背包（等於當前背包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個背包能裝入的最大價值

f[i-1,j-Wi]就是指單元格b6,值為9，Pi指的是a物品的價值，即6

由於f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重為8的背包

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[10][V];//全局變量，自動初始化為0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)    (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{
    
    int N,M;
    cin>>N;//物品個數
    cin>>M;//背包容量
    for (int i=1;i<=N; i++)
    {
        cin>>weight[i]>>value[i];
    }
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=1; j<=M; j++)
        {
            if (weight[i]<=j)
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
            }
            else
                f[i][j]=f[i-1][j];
        }
    
    cout<<f[N][M]<<endl;//輸出最優解
}

可以進一步優化內存使用。上面計算f[i][j]可以看出，在計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用其他子問題，因此在存儲子問題的解時，只存儲f[i-1]子問題的解即可。這樣可以用兩個一維數組解決，一個存儲子問題，一個存儲正在解決的子問題。

 

再進一步思考，計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用f[i-1][j+1]這樣的話，我們先計算j的循環時，讓j=M……1，只使用一個一維數組即可。

for i=1……N

for j=M……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

 

#include<iostream>
using namespace std;
#define  V 1500
unsigned int f[V];//全局變量，自動初始化為0
unsigned int weight[10];
unsigned int value[10];
#define  max(x,y)    (x)>(y)?(x):(y)
int main()
{
    
    int N,M;
    cin>>N;//物品個數
    cin>>M;//背包容量
    for (int i=1;i<=N; i++)
    {
        cin>>weight[i]>>value[i];
    }
    for (int i=1; i<=N; i++)
        for (int j=M; j>=1; j--)
        {
            if (weight[i]<=j)
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
            }            
        }
    
    cout<<f[M]<<endl;//輸出最優解
}