問題描述：
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旅行商問題（Traveling Salesman Problem,TSP）是旅行商要到若干個城市旅行，各城市之間的費用是已知的，為了節省費用，旅行商決定從所在城市出發，到每個城市旅行一次后返回初始城市，問他應選擇什么樣的路線才能使所走的總費用最短？此問題可描述如下：設G=(V,E)是一個具有邊成本cij的有向圖，cij的定義如下，對於所有的i和j，cij>0,若<i,j>不屬於E，則cij=∞。令|V|=n，並假設n>1。 G的一條周游路線是包含V中每個結點的一個有向環，周游路線的成本是此路線上所有邊的成本和。
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旅行商問題（Traveling Saleman Problem，TSP）又譯為旅行推銷員問題、貨郎擔問題，簡稱為TSP問題，是最基本的路線問題，該問題是在尋求單一旅行者由起點出發，通過所有給定的需求點之后，最后再回到原點的最小路徑成本。最早的旅行商問題的數學規划是由Dantzig（1959）等人提出。
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TSP問題在物流中的描述是對應一個物流配送公司，欲將n個客戶的訂貨沿最短路線全部送到。如何確定最短路線。
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TSP問題最簡單的求解方法是枚舉法。它的解是多維的、多局部極值的、趨於無窮大的復雜解的空間，搜索空間是n個點的所有排列的集合，大小為（n-1）。可以形象地把解空間看成是一個無窮大的丘陵地帶，各山峰或山谷的高度即是問題的極值。求解TSP，則是在此不能窮盡的丘陵地帶中攀登以達到山頂或谷底的過程。
問題分析
- 旅行商問題要從圖G的所有周游路線中求取最小成本的周游路線，而從初始點出發的周游路線一共有(n-1)!條，即等於除初始結點外的n-1個結點的排列數，因此旅行商問題是一個排列問題。排列問題比子集合的選擇問題通常要難於求解得多，這是因為n個物體有n!種排列。通過枚舉(n-1)!條周游路線，從中找出一條具有最小成本的周游路線的算法，其計算時間顯然為O(n!)。
旅行商問題的解法
旅行推銷員的問題，我們稱之為巡行（Tour），此種問題屬於NP-Complete的問題，所以旅行商問題大多集中在啟發式解法。Bodin（1983）等人將旅行推銷員問題的啟發式解法分成三種：
1、途程建構法（Tour Construction Procedures）
從距離矩陣中產生一個近似最佳解的途徑，有以下幾種解法：
1）最近鄰點法（Nearest Neighbor Procedure）：一開始以尋找離場站最近的需求點為起始路線的第一個顧客，此后尋找離最后加入路線的顧客最近的需求點，直到最后。
2）節省法（Clark and Wright Saving）：以服務每一個節點為起始解，根據三角不等式兩邊之和大於第三邊之性質，其起始狀況為每服務一個顧客后便回場站，而后計算路線間合並節省量，將節省量以降序排序而依次合並路線，直到最后。
3）插入法（Insertion procedures）：如最近插入法、最省插入法、隨意插入法、最遠插入法、最大角度插入法等。
2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）
先給定一個可行途程，然后進行改善，一直到不能改善為止。有以下幾種解法：
1）K-Opt(2/3 Opt)：把尚未加入路徑的K條節線暫時取代目前路徑中K條節線，並計算其成本（或距離），如果成本降低（距離減少），則取代之，直到無法改善為止，K通常為2或3。
2）Or-Opt：在相同路徑上相鄰的需求點，將之和本身或其它路徑交換且仍保持路徑方向性，並計算其成本（或距離），如果成本降低（距離減少），則取代之，直到無法改善為止。
3、合成啟發法（Composite Procedure）
先由途程建構法產生起始途程，然后再使用途程改善法去尋求最佳解，又稱為兩段解法（two phase method）。有以下幾種解法：
1）起始解求解+2-Opt：以途程建構法建立一個起始的解，再用2-Opt的方式改善途程，直到不能改善為止。
2）起始解求解+3-Opt：以途程建構法建立一個起始的解，再用3-Opt的方式改善途程，直到不能改善為止。
背包問題
- 背包問題(Knapsack problem)是一種組合優化的NP完全問題。問題可以描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和價格，在限定的總重量內，我們如何選擇，才能使得物品的總價格最高。問題的名稱來源於如何選擇最合適的物品放置於給定背包中。
- 也可以將背包問題描述為決定性問題，即在總重量不超過W的前提下，總價值是否能達到V？
題目
- 有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的費用是c，價值是w。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。
基本思路
- 這是最基礎的背包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。
- 用子問題定義狀態：即f[v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：f[v]=max{f[v],f[v-c]+w}。
- 這個方程非常重要，基本上所有跟背包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：“將前i件物品放入容量為v的背包中”這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那么就可以轉化為一個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那么問題就轉化為“前i-1件物品放入容量為v的背包中”；如果放第i件物品，那么問題就轉化為“前i-1件物品放入剩下的容量為v-c的背包中”，此時能獲得的最大價值就是f [v-c]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w。