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方差分析（Analysis of Variance / ANOVA）
實驗中，我們要考察的指標為試驗指標，影響的條件成為因素。由於各種因素的影響，使得測試數據結果呈波動狀，包含不可控的隨機因素、人為調控的可控因素。
應用條件：
1、各樣本是相互獨立的隨機樣本
2、各樣本均來自正態分布總體
3、各樣本的總體方差相等，即具有方差齊性
單因素方差分析（one-way ANOVA）
試驗參數
假設因素A有s個水平A1，A2…..，As，每個水平下進行nj次獨立試驗，樣本總數n
觀測變量總離差平方和 = 組間離差平方和 + 組內離差平方和，表述為：SST=SSA+SSE。
組內差異——測量誤差、個體差異
SSE（誤差平方和）各個水平下，樣本觀察值與樣本均值差異的平方和
組內自由度 dfe=n-s
組間差異——不同實驗條件處理
SSA（因素A的效應平方和）各個水平下樣本平均值與數據總平均差異的平方和
組間自由度 dfa=s-1
均方 = 離差平方和 / 自由度 SA=SSA/dfa SE=SSE/dfe
單因素方差分析基本步驟
1、提出原假設：H0——無差異；H1——有顯著差異
2、選擇檢驗統計量：方差分析采用的檢驗統計量是F統計量，即F值檢驗
| 拒絕H0 |
F>F0.05(dfa,dfe) |
組間均方>>組內均方，來自不同正態總體 |
| 接受H0 |
F<F0.05(dfa,dfe) |
組間均方<<組內均方，來自相同正態總體 |
3、計算檢驗統計量的觀測值和概率P值
4、給定顯著性水平，並作出決策
方差齊性檢驗 ——對控制變量不同水平下各觀測變量總體方差是否相等進行檢驗
控制變量不同水平下觀測變量總體方差無顯著差異是方差分析的前提要求。
若不滿足，便不能認為各總體分布相同。
多重比較檢驗 ——控制變量的不同水平對觀測變量的影響程度如何
實現對各個水平下觀測變量總體均值的逐對比較
多（雙）因素方差分析
單獨效應 ——其他因素固定，某一因素不同水平之間均數的差別
交互效應 ——某因素的單獨效應，隨另一因素水平而變化，且不能用隨機誤差解釋
試驗參數
假設因素A有r個水平（A1，A2…..，Ar），因素B有s個水平（B1，B2……，Bs），每個ABzuhe進行t次獨立試驗，樣本總數n
所有數據平均值μ，αi是水平Ai的效應，βj是水平Bj的效應，γij表示Ai與Bj的交互作用
同樣計算離差平方和SST=SSA+SSE+SSB+SSAB
SSE（誤差平方和）每個（ij）水平下測量值與均值差異的平方和
SSA、SSB（因素A\B的效應平方和）、SSAB（AB交互效應平方和）
例如雙因素方差分析的基本步驟
1、提出原假設：
|
|
因素A（r） |
因素B（s） |
AB交互作用（rs） |
| 無顯著差異 |
H01 |
H02 |
H03 |
| 有顯著差異 |
H11 |
H12 |
H13 |
2、F值檢驗
| 拒絕H01 |
F0.05(dfa,dfe)<FA |
因素A不同存在顯著差異 |
| 拒絕H02 |
F0.05(dfb,dfe)<FB |
因素B不同存在顯著差異 |
| 拒絕H03 |
F0.05(dfab,dfe)<FAB |
因素A與B存在交互效應 |
補充：F分布
設X、Y為兩個獨立的隨機變量，
X服從自由度為k1的卡方分布，Y服從自由度為k2的卡方分布
變量 F =（X / k1） / （Y / k2）服從F(k1,k2)的分布
學習資料來源
1、百度百科：方差分析
2、概率論與數理統計（第四版）
3、百度文庫https://wenku.baidu.com/view/30a2bafc941ea76e58fa045a.html
申明
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