滑動窗口最值問題
給定一個長度為n的序列a1,a2,…ai,…,an，將一個長為k的滑動窗口自序列最左端向右邊滑動。例如：初始時，窗口內的子序列為a1,a2,…,ak；當窗口向右滑動一位，此時窗口內的子序列變為a2,a3,…,ak+1。
我們要解決的問題是，給定長度為n的序列以及滑動窗口的大小k，求每一個滑動窗口內的最小值和最大值。
以長度為5的序列1, 3, 4, 5, 7滑動窗口k=3為例說明：
第1個滑動窗口（1, 3, 4）的最小值、最大值分別為1和4；
第2個滑動窗口（3, 4, 5）的最小值、最大值分別為3和5；
第3個滑動窗口（4, 5, 7）的最小值、最大值分別為4和7。
一些可行的解決思路
最直接的思路，可以枚舉所有窗口（一共n-k+1個），掃描窗口內的每一個元素求其最值。
整個算法的時間復雜度是O(n*k)，當數據規模較大的時候（如n=10^6，k=10^4），該算法耗時較長。
另一個容易想到的思路，將序列建線段樹（或者樹狀數組等等），該過程的時間復雜度是O(n*logn)，再通過n-k+1次查詢區間最值求每個窗口對應區間的最大（小）值。整體時間復雜度是O(n*logn)。
單調隊列：更優美的思路
一種更加優美的解決方法是單調隊列。那么，我們就來一起揭開「單調隊列」的神秘面紗吧。
首先，第一個問題來了：單調隊列是隊列——嗎？
字面上去理解的話，單調隊列肯定是隊列，沒毛病。不然為啥不叫單調棧呢。
但是，初中地理老師有言在先：死海不是海，是湖泊，還是世界上最低的湖泊。為毛不起個「死湖」的名字？！這個……就自行google/baidu吧。
扯遠了，扯回來。
單調隊列，從嚴格意義上講還真不是「隊列」。
什么是隊列呢？就是一中FIFO（First In First Out）的數據結構。所有要入隊的元素，統一從隊尾入隊，再從隊首出隊。
但是，「單調隊列」卻不是一種FIFO的數據結構。在單調隊列中，為了維護隊列內元素的「單調」性，所有要入隊的元素，統一從隊尾入隊，再從對首出隊，也可以從對尾直接出隊。
單調隊列的基本操作
聽起來有點玄乎，先來看看單調隊列（以遞增隊列為例）有哪些基本的操作。
1.入隊（push_back）：對於待入隊的元素，為維護隊列的遞增性，如果隊尾元素值大於待入隊元素，則將對尾元素從隊列中彈出，重復此操作，直到隊列為空或者隊尾元素小於待入隊元素。然后，再把待入隊元素添加到隊列末尾。
2.出隊（pop）：分被動的出隊（為維護隊列單調性，將元素從隊尾彈出）和主動的出隊（和傳統的隊列一樣，從隊首出；但是有講究，正是這個講究讓滑動窗口最值問題得以解決）。
利用單調隊列求解滑動窗口最值問題
下面，一起來看看如何利用單調（遞增）隊列來解決滑動窗口的最（小）值問題。
以長度為6的序列1, 3, 4, 5, 7, 2和滑動窗口k=3為例：
1）1入隊，入隊后隊列變為[1]；
2）3入隊，3大於隊尾元素1，入隊后隊列變為[1, 3]；
3）4入隊，4大於隊尾元素3，入隊后隊列變為[1, 3, 4]；
從4開始，已經形成了第1個滑動窗口，窗口內最小值就是隊首元素1。
4）5入隊，5大於隊尾元素4，入隊后隊列變為[1, 3, 4, 5]；
這時，隊內有4個元素，求第2個滑動窗口內最小值的策略是：
取出隊首元素，如果該元素不在滑動窗口內，則將其從隊列中彈出，繼續取新的對首元素，直到隊首元素出現在窗口內；此時，隊首元素即為窗口最小值。
這也就是出隊操作的「講究」之處。
在求得第2個滑動窗口的最小值后，1由於不在滑動窗口內被彈出，隊列變為[3, 4, 5]；
5）7入隊，7大於隊尾元素5，入隊后隊列變為[3, 4, 5, 7]；
求得第3個滑動窗口的最小值，3由於不在窗口內出隊，4在窗口內，所以4為第3個窗口的最小值。隊列變為[4, 5, 7]。
6）2入隊，為維護隊列的單調性，依次彈出7, 5, 4，完成入隊后，隊列變為[2]。
求得第4個滑動窗口最小值為2，隊列保持不變，依然為[2]。
時間復雜度
理解單調隊列的核心之一在於，所有被動的出隊（在隊尾被彈出）的元素，都不可能是當前所求窗口的最值。
由於序列中的每個元素只可能入隊1次，最多也可能出隊1次，所以均攤下來，用單調隊列求滑動窗口內最小值的算法時間復雜度是O(n)。
類似地，也可以利用單調遞減隊列來求得滑動窗口內的最大值問題。
單調隊列的一個更加實用的用途，就是利用其滑動窗口最值優化動態規划問題的時間復雜度。
另外，關於這個問題，你可以在這里小試牛刀。
c++源碼實現
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 #include <deque> 4 #include <cstdio> 5 6 #define MAXN 10010 7 8 class Data { 9 public: 10 int val; 11 int idx; 12 Data() { val = idx = 0; } 13 Data(int x, int y):val(x), idx(y){} 14 }; 15 16 class OrderedQueue { 17 private: 18 Data que[MAXN]; //在部分機器上（如POJ的環境上，MAXN為10^6時，會出現Runtime Error，一種可行的方法是將其設置為全局變量（由於封裝差，因此不提供這個版本的代碼）. 19 int front; 20 int back; 21 int window_size; 22 // true -> increasing(not strictly) 23 // false -> decreasing(not strictly) 24 bool order; 25 public: 26 OrderedQueue(); 27 OrderedQueue(int window_size, bool order); 28 void push_back(Data d); 29 Data get_window_front(int pos); 30 void clear(); 31 bool empty(); 32 }; 33 34 OrderedQueue::OrderedQueue() { 35 window_size = 3; 36 order = true; 37 clear(); 38 } 39 40 OrderedQueue::OrderedQueue(int window_size, bool order) { 41 this->window_size = window_size; 42 this->order = order; 43 clear(); 44 } 45 46 void OrderedQueue::clear() { 47 front = back = 0; 48 } 49 50 bool OrderedQueue::empty() { 51 return front == back; 52 } 53 54 void OrderedQueue::push_back(Data d) { 55 while (front < back) { 56 Data tail = que[back - 1]; 57 bool tag = order ? d.val > tail.val : d.val < tail.val; 58 if (tag) { 59 break; 60 } else { 61 back--; 62 } 63 } 64 que[back++] = d; 65 } 66 67 Data OrderedQueue::get_window_front(int pos) { 68 while (front < back && que[front].idx < pos - window_size + 1) { 69 front++; 70 } 71 return que[front]; 72 } 73 74 75 int main() { 76 int a[8] = {1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7}; 77 int wsize = 3; 78 OrderedQueue oq1 = OrderedQueue(wsize, true); 79 OrderedQueue oq2 = OrderedQueue(wsize, false); 80 for (int i = 0; i < 8; i++) { 81 oq1.push_back(Data(a[i], i)); 82 oq2.push_back(Data(a[i], i)); 83 if (i + 1 >= wsize) { 84 std::cout << "在區間[" << (i - wsize + 1) << "," << i << "]內的最小值為" << oq1.get_window_front(i).val << std::endl; 85 std::cout << "在區間[" << (i - wsize + 1) << "," << i << "]內的最大值為" << oq2.get_window_front(i).val << std::endl; 86 } 87 } 88 return 0; 89 }
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