本篇博客轉自我很久以前在洛谷上寫的一篇博客，原地址：https://www.luogu.org/blog/ybwowen/dan-diao-dui-lie
單調隊列是一種隊列（廢話）
其中隊列的元素保證是單調遞增或者是單調遞減的
那么隊首的元素不就是最小（或最大）的嗎？
我們結合具體的題目來看看吧：
傳送門：P1886 滑動窗口
題目描述
現在有一堆數字共N個數字（N<=10^6），以及一個大小為k
的窗口。現在這個從左邊開始向右滑動，每次滑動一個單
位，求出每次滑動后窗口中的最大值和最小值。
例如：
The array is [1 3 -1 -3 5 3 6 7], and k = 3.
輸入格式：
輸入一共有兩行，第一行為n,k。
第二行為n個數(<INT_MAX).
輸出格式：
輸出共兩行，第一行為每次窗口滑動的最小值
第二行為每次窗口滑動的最大值
輸入輸出樣例
輸入樣例#1：
8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7
輸出樣例#1：
-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7
這里我們只討論最大值，最小值原理一樣的
解法1：
如果按照常規方法，我們在求a[i] 即i~i+k-1區間內的最值
時，要把區間內的所有數都訪問一遍，時間復雜度約為
\(O(nk)\)。有沒有一個快一點的算法呢？
解法2:
很明顯，當我們在計算區間\([i-k+1,i]\)的最大值時，是不
是區間\([i-k+1,i-1]\)我們之前已經計算過了？那么我們
是不是要保存上一次的結果呢（主要是最大值）？
這時，單調隊列登場——
單調隊列主要有兩個操作：刪頭和去尾
**1.刪頭 **
如果隊列頭的元素離開了我們當前操作的區間，那么這
個元素就沒有任何用了，我們就要把它刪掉
2.去尾
假設即將進入隊列的元素為\(X\)，隊列尾指針為\(tail\)，
這時我們要比較二者的大小：
1* \(X<q[tail]\)
此時q仍然保證着遞減性，故直接將\(X\)插入隊列尾
2*\(X>=q[tail]\)
此時，隊列遞減性被打破，此時我們做一下操作：
① 彈出隊尾元素
因為當前的\(q[tail]\)不但不是最大值，對於以后的情況
也不如\(X\)更優，所以要彈出
這好比當前隊列尾部的元素是個能力不足的老兵，而新加入
的新兵更年輕，更能打，當然不要老兵了
②重復執行①，直到滿足\(X<q[tail]\)或者隊列為空為止
③將\(X\)插入隊列
對於樣例而言：
[1 3 -1] -3 5 3 6 7
q={1},{3},{3,-1} output:3//分別為每次操作的結果
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7
q={3,-1,-3} output:3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7
q={-1,-3},{-1,5},{5} output:5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7
q={5,3} output:5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7
q={5,6},{6} output:6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]
q={6} output:7
由於每個元素最多入隊一次，出隊一次（為什么？），所以
時間復雜度為\(O(n)\)
當然，這題還可以用ST表和線段樹來做，但都沒有單調隊列
方便
實現：
由於要對隊首和隊尾進行維護，所以我們需要使用
雙端隊列
可以用STL中的deque，也可以手寫
代碼：//使用deque
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int read(){//快讀
char ch=getchar();
int f=1; int sum=0;
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9') sum=sum*10+ch-'0',ch=getchar();
return f*sum;
}
deque<int>q;
int a[1000005];
int main(){
n=read(); m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++){//最小值
while(!q.empty()&&a[q.back()]>a[i]) q.pop_back();//去尾
q.push_back(i);
if(i>=m){
while(!q.empty()&&q.front()<=i-m) q.pop_front();//刪頭
printf("%d ",a[q.front()]);
}
}
printf("\n");
while(!q.empty()) q.pop_front();
for(int i=1;i<=n;i++){//最大值
while(!q.empty()&&a[q.back()]<a[i]) q.pop_back();//去尾
q.push_back(i);
if(i>=m){
while(!q.empty()&&q.front()<=i-m) q.pop_front();//刪頭
printf("%d ",a[q.front()]);
}
}
printf("\n");
return 0;
}
應用
單調隊列是一種小的數據結構，一半不單獨出現，
但是經常我們會遇到單調隊列優化的DP
舉例：NOIP 2017 PJ 第四題 P3957跳房子
二分+DP+單調隊列優化，這里請大家仔細查閱題解
某年NOIP TG 的初賽完善程序 烽火傳遞
雖然這題你可以用二叉堆，但明顯單調隊列更好
大家可以看看，這里我就不講這么多了
感謝閱讀！