“如果一個人比你年輕還比你強，那你就要被踢出去了……”——單調隊列
“來來來，神犇巨佬、金牌\(Au\)爺、\(AKer\)站在最上面，蒟蒻都靠下站！！！”——優先隊列
Part 1：單調隊列
單調隊列的功能
顧名思義，所謂單調隊列，那么其中的元素從隊頭到隊尾一定要具有單調性（單調升、單調降等）
它被廣泛地用於“滑動窗口”這一類\(RMQ\)問題，其功能是\(O(n)\)維護整個序列中長度為\(k\)的區間最大值或最小值
單調隊列實現原理
滑動窗口問題
給定一個長度為\(n\)的序列\(a\)和一個窗口長度\(k\)，窗口初始覆蓋了\(1\rightarrow k\)這些元素
之后窗口每次向右移一個單位，即從覆蓋\(1\rightarrow k\)變成覆蓋\(2\rightarrow k+1\)
要求求出每次移動（包括初始時）窗口所覆蓋的元素中的最大值（如圖，花括號內即為被窗口覆蓋的元素）
數據范圍：\(1\leq k\leq n\leq 10^6,a_i\in[-2^{31},2^{31})\)
\(Solution\) \(1：\)暴力碾標算\(O(nk)\)
“越接近暴力的數據結構，能維護的東西就越多”——真理
線段樹和樹狀數組維護不了眾數，但分塊可以。你再看暴力，它什么都能維護……
很簡單，每次從窗口最左端掃到最右端，然后取最大值就\(OK\)了
顯然在這種數據強度下暴力是過不了的，代碼就不給了
\(Solution\) \(2：\)單調隊列\(O(n)\)
思考暴力為什么慢了：因為窗口每次才移動\(1\)個單位，但是暴力算法每次都重復統計了\(k-2\)個元素
那我們把中間那一大堆數的最大值記錄下來，每次進來一個元素，出去一個元素，統計一下最值，這不就快了嗎？
但是，不幸的是，如果出去的那個元素正好是最值，那就得重新統計了
考慮維護一個單調不升隊列，每次新元素進來之前，從這個隊列的最小值向最大值依次比較
如果這個隊列中的一個數\(a\)沒有新來的那個元素\(b\)大，那么把\(a\)踢出序列
因為\(a\)一定在新來的數之前出現，它的值沒有\(b\)大，所以在之后的統計中\(a\)永遠也不可能成為最大值，就沒必要記錄\(a\)了
處理完新元素，現在看看舊元素怎么處理：
一個數\(a\)如果不在窗口里，那么需要把它踢出這個隊列，但是如果我們每次移動都要找到這個\(a\)再踢出，那么復雜度又變成了\(O(nk)\)，顯然不行
發現新元素不受舊元素的影響，每次一定會進入到隊列里，不會因為舊元素而把新元素卡掉，而且我們只是查詢最大值，所以沒有必要嚴格維護序列里每個值都在窗口里，只要保證最大值出自窗口里即可
因為這個隊列單調不升，所以隊頭一定是我們要查詢的最大值，那么我們可以對隊頭掃描，如果這個隊頭在窗口之外，把這個隊頭踢出去，新的隊頭是原來的第二個元素
重復上述操作，直到隊頭在窗口里即可，因為序列單調不升，所以隊頭一定是窗口內的最大值
以上就是單調隊列算法的全部內容
復雜度分析
有些剛學的同學，看到循環\(n\)重嵌套，馬上來一句：這個算法的復雜度是\(O(n^n)\) 的，這是不對的！！！
比如剛才我們的這個算法，看似每次窗口移動時都要對整個單調隊列進行掃描，但是，從總體來看，每個元素只會入隊一次，出隊一次，所以復雜度是\(O(n)\)的
核心\(Code\)
struct Node{
int num,und;//num是值,und是下標
Node(){}
}q[1e6+10];
int main(){
int i,head=1,tail=0;//建立單調隊列維護k個數中最大值,head是隊頭,tail是隊尾
for(i=1;i<k;i++){//先把k個元素都進來
while(head<=tial&&q[tail].num<a[i]) tail--;//如果隊尾沒有新元素大,那么在之后的統計中,它永遠不可能成為最大值,踢出
q[++tail].und=i,q[tail].num=a[i];//新元素插入隊尾
}
for(;i<=n;i++){
while(head<=tail&&q[tial].num<a[i]) tail--;
q[++tail].und=i,q[tail].num=a[i];
while(q[head].und<i-k+1) head++;//隊頭過時了,踢出
ans[i]=q[head].num;//統計答案
}
}
Part 2：優先隊列
一個悲傷的故事背景：
從前，NOI系列比賽禁止使用\(C++STL\)時，優先隊列是每一個\(OI\)選手一定會熟練手寫的數據結構。
但是自從\(STL\)盛行，會手寫優先隊列的選手越來越少了……傳統手藝沒有人繼承，真是世風日下（STL真香）啊……
優先隊列的功能
優先隊列有另一個名字：二叉堆
功能是維護一堆數的最大值（大根堆）/最小值（小根堆），存放在堆頂（也就是根）
注意：凡是\(STL\)都自帶常數
優先隊列實現原理
沒錯，實現原理就是\(C++STL\)
\(C++STL\)中\(#include<queue>\)頭文件為我們提供了一個免費的優先隊列——\(priority\)_\(queue\)，但是不支持隨機刪除，只支持刪除堆頂
優先隊列的聲明和操作方法
聲明方法
std::priority_queue<int>Q;
上面就聲明了一個\(int\)類型的大根堆，想要一個小根堆？沒關系，你可以這么寫：
std::priority_queue< int,std::vector<int>,std::greater<int> >Q;
或者把每個數入堆時都取相反數，然后在用的時候再取相反數
對於結構體，我們還有更騷的操作：重載小於號運算符
struct Node{
int x,y;
Node(){}
}
bool operator < (const Node a,const Node b){ return a.x<b.x; }
std::priority_queue<Node>Q;
這樣就是按照\(x\)大小比較的大根堆，如果你想要小根堆，那么把重載運算符改成這句：
bool operator < (const Node a,const Node b){ return a.x>b.x; }
這樣，系統就會認為小的更大，所以小的就會跑到堆頂去
但是，如你想要\(int\)類型的小根堆，千萬不要重載運算符，這樣普通的兩個\(int\)數就不能正常比較了（系統會認為小的更大）
常用操作命令
//std priority_queue 操作命令
Q.push();//插入元素，復雜度O(logn)
Q.pop();//彈出堆頂，復雜度O(logn)
Q.size();//返回堆中元素個數，復雜度O(1)
Q.top();//返回堆頂元素，復雜度O(1)
奇技淫巧
什么？你想讓\(priority\)_\(queue\)支持隨機刪除，但是又不想手寫？（那你可真是懶
但是這能難倒人類智慧嗎？顯然不能，這里有一個玄學的延遲刪除法，可以滿足需求
我們可以維護另一個優先隊列（刪除堆），每次要刪除一個數（假設為\(x\)）
當需要刪除\(x\)的時候，我們並不去真正的堆里面刪除\(x\)，而是把\(x\)加入刪除堆
訪問維護最值的堆時，看看堆頂是不是和刪除堆堆頂一樣，如果一樣，說明這個數已經被刪掉了，在原堆和刪除堆中同時\(pop\)掉
這個方法為什么對呢？萬一原堆的堆頂\(x\)已經被刪了，而刪除堆的堆頂不是\(x\)，導致找到了錯的最值，怎么辦呢？
其實這種情況不可能出現。假設我們維護了一個大根堆，如果刪除堆的堆頂不是\(x\)，那必然是一個比\(x\)大的數\(y\)
如果\(y\)還沒有被刪除，那么比\(y\)小的\(x\)一定還不是堆頂，幾次彈出后，堆頂是\(y\)，發現刪除堆堆頂同樣是\(y\)，\(y\)從原堆和刪除堆中刪除
換句話說，當原堆的堆頂是\(x\)時，刪除堆堆頂和原堆中還需要刪除的數一定\(\leq x\)，所以不會找到錯誤的最值