最大（小）堆和堆排序簡介

（注：本文的相關敘述和圖片摘自《數據結構與算法分析新視角》(周幸妮等)，因此本文只是我的一個復習記錄，詳細的論述請參考該書。）

1. 最大（小）堆

　　對於一個完全二叉樹來說，如果所有的結點（葉子結點除外）的值都大於（小於）其左右孩子結點的值，那么這個完全二叉樹就被成為一個大（小）根堆。如下圖所示。按照堆的定義可以發現，堆頂結點（二叉樹的根結點）一定對應整個序列中的最大（小）記錄。這樣一來，可以設計一種排序思路，每次將堆的堆頂記錄輸出，同時調整剩余的記錄，使它們從新排成一個堆。重復這個過程，就能最終得到一個有序的序列，完成排序的過程，這種方法稱之為堆排序。

　　因此，對於堆排序來說，主要有兩個問題：

• 一個無序序列的所有記錄如何排列成一個堆？
• 在輸出了堆頂記錄后，如何將剩下的記錄再排成一個堆？

2. 堆排序

• 由無序序列生成堆

　　以序列{49,38,65,97,76,13,27,49,55,04}為例，介紹生成最小堆的思路。我們知道一棵完全二叉樹的最后一個非葉子結點的索引為[n/2]，因此在本例中，選擇第5個記錄{76}作為初始篩選點。首先比較{76}與其左右孩子結點記錄的大小，並按照篩選的結果進行交換，因此得到下圖2的結果。接下來對倒數第二個非葉子結點進行處理，結果如下圖3所示。重復這個步驟，可以得到一個結構完整的最小堆，如下圖4所示。

            

                                          (1)序列直接構成完全二叉樹       (2)一次篩選之后的完全二叉樹      (3)二次篩選之后的完全二叉樹

 

(4)經過多次篩選之后的最小堆

• 堆排序

　　以序列{13,38,27,49,76,65,49,97}為例，介紹堆排序的思路。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　          初始堆                                              輸出堆頂元素后的情形

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　最后一個記錄暫放於堆頂                                      一次調整之后的情形

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  二次調整之后的情況                                輸出記錄{27}之后再排成一個堆

 　　重復上述步驟，最終就可以生成一個有序序列。

 3. 相關代碼

• 生成最大堆代碼（最小堆類似）

//調整堆結點 
 2 //arr:數組首地址；n:結點在數組中的位置；len:數組的長度
void adjust_node(int *arr, int n, int len)
{
    int l, r, max, tmp;
    l = 2 * n + 1; //左右孩子的索引，注意數組下標從0開始。
    r = 2 * n + 2;
    max = n;

    if (l<len&&arr[l]>arr[n])
        max = l;
    if (r<len&&arr[r]>arr[max])
        max = r;

    if (max != n)
    {
        tmp = arr[n];
        arr[n] = arr[max];
        arr[max] = tmp;
        adjust_node(arr, max, len); //保證最大堆
    }
}

• 堆排序

//堆排序（升序）
void sort_heap(int *arr, int len)
{
    for (int i = len / 2; i >= 0; i--)
        adjust_node(arr, i, len);
    int tmp;
    for (int i = len - 1; i >= 0; i--)
    {
        tmp = arr[0];
        arr[0] = arr[i];
        arr[i] = tmp;
        adjust_node(arr, 0, i);
    }
}

• 驗證

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int arr[] = { 49,38,65,97,76,13,27,49,55,04 };
    int len = 10;

    for (int i = 0; i < len; i++)
        cout << arr[i] << ' ';
    cout << endl;

    sort_heap(arr, len);

    for (int i = 0; i < len; i++)
        cout << arr[i] << ' ';
    cout << endl;

    return 0;    
}

輸出結果：

49 38 65 97 76 13 27 49 55 4
4 13 27 38 49 49 55 65 76 97