二叉堆與堆排序

二叉堆是一種優先級隊列(priority queue)。搜索樹維護了全部數據結構的有序性，而在我們不需要得知全局有序，僅僅需要全局的極值時，這樣是一種沒有必要的浪費。根據對象的優先級進行訪問的方式，稱為循優先級訪問(call-by-priority)。優先級隊列本身並不是一個隊列結構，而是根據優先級始終查找並訪問優先級最高數據項的數據結構。

首先，定義優先級隊列基類。需要支持的操作，主要是插入、獲取最大(最小)元素、刪除最大(最小)元素。

template<typename T> struct PQ
{
    virtual void insert(T) = 0;
    virtual T getMax() = 0;
    virtual T delMax() = 0;
};

 

完全二叉堆

最為常用的堆結構，就是完全二叉堆。在邏輯形式上，結構必須完全等同於完全二叉樹，同時，堆頂意外的每個節點都不大於（小於）其父親，即堆有序。

如果堆頂最大，稱為最大二叉堆。反之，稱為最小二叉堆。

因為完全二叉堆等同於完全二叉樹的結構，故高度應當為O(logn)。在前面二叉樹的一篇里，提到了完全二叉樹的層次遍歷結構可以采用向量表示，更加簡潔方便、內存上更加緊湊。回顧一下，一個節點的秩為n，它左孩子的秩為2*n+1,右孩子為2*n+2；當n！=0時，n的父親為[n/2]-1(向上取整)。向量結構對於刪除添加等，分攤復雜度為O(1)。

template<typename T> class PQ_ComplHeap: public PQ<T>, public Vector<T>
{
protected:
    Rank percolateDown(Rank n, Rank i);//下濾
    Rank percolateUp(Rank i);//上濾
    void heapify(Rank n);//Floyd建堆算法
public:
    PQ_ComplHeap() {};
    PQ_ComplHeap(T* A, Rank n) { copyFrom(A, 0, n); heapify(n); }
    void insert(T);//允許重復故必然成功
    T getMax();
    T delMax();
};

 

查詢

優先級隊列最大的優勢所在，始終維持全局最大(最小)值為堆頂。因此只需要返回首元素即可。

template<typename T> T PQ_ComplHeap<T>::getMax()
{
    return _elem[0];
}

插入

插入操作，首先把新元素加到向量末尾。因為需要維持堆序性，逐層檢查是否有序並做出調整，這個過程稱為上濾。上濾的高度不超過樹高，因此復雜度不超過O(logn)。

template<typename T> void PQ_ComplHeap<T>::insert(T e)
{
    Vector<T>::insert(e);//將新詞條接到向量末尾
    percolateUp(_size - 1);//對該詞條進行上濾
}
template<typename T> Rank PQ_ComplHeap<T>::percolateUp(Rank i)
{
    while (ParentValid(i))
    {
        Rank j = Parent(i);
        if (lt(_elem[i], _elem[j])) break;
        swap(_elem[i], _elem[j]); i = j;//繼續向上
    }
    return i;//返回上濾最終抵達的位置
}

刪除

每次刪除操作，都將刪除堆頂。采用的策略，是把向量末尾的元素補充到堆頂，然后向下逐層比較，維持堆序性，與上濾對應地，稱為下濾。

template<typename T> T PQ_ComplHeap<T>::delMax()
{
    T maxElem = _elem[0];
    _elem[0] = _elem[--_size];//用末尾的值代替
    percolateDown(_size, 0);//下濾
    return maxElem;//返回備份的最大詞條
}
template<typename T> Rank PQ_ComplHeap<T>::percolateDown(Rank n, Rank i)//前n個詞條中的第i個進行下濾
{
    Rank j;
    while (i!= (j = ProperParent(_elem, n, i)))//i以及兩個孩子中，最大的不是i
    {
        swap(_elem[i], _elem[j]); i = j;//交換，並向下
    }
    return i;//返回下濾到達的位置
}

同樣，刪除操作除下濾外，均只需要常數時間，而下濾復雜度也不超過高度，故同樣為O(logn)。

建堆

二叉堆一個重要的問題就是如何建立堆，通常是由一個向量結構進行建堆。最常用的方法有兩種，一種是逐個元素插入，然后對每個元素都進行上濾。這樣操作的復雜度為O(log1+log2+...+logk)=O(nlogn)。其實，整個過程的復雜度與對全局進行排序相當。

介紹一種更快的建堆方法，Floyd算法。算法核心思想是，把建堆的過程等效於堆的合並操作，即兩個堆H1、H2以及節點p的合並操作，此時，如果H1和H2已經符合堆序性，那么只需要把p作為H1、H2的父親，並對p進行下濾操作即可，最終成為一個完整的堆。

template<typename T> void PQ_ComplHeap<T>::heapify(Rank n)//Floyd建堆法
{
    for (int i = LastInternal(n); InHeap(n, i); i--)//自底向上下濾，從最后一個節點的父親開始
        percolateDown(n, i);
}

僅對內部節點進行下濾即可。操作的復雜度為O(n)。對比可以發現，插入后上濾效率低的來源，是對每個節點都進行了上濾，而Floyd方法對內部節點進行下濾，而完全二叉堆中的外部節點數量多，並且深度小的節點遠遠少於高度小的節點。

堆排序

堆排序算法其實與選擇排序法非常相似。其核心思想都是將序列分為前后兩個部分：未排序部分U、已經排序部分S。不同之處僅在於，如何從前半部分選擇極值元素。借助堆結構，堆頂即為最值，因此可以很快的選擇出想要的元素，並與U部分的末尾交換即可，這也正是delMax（）所做的工作。因為完全二叉堆的該過程不超過O(logn)，所以算法的復雜度為O(nlogn)，比選擇排序法的O(n^2)有了很大的提升。