滿二叉樹各種節點數目的計算

1. 二叉樹的基本性質

• 二叉樹的第i層至多有2^i-1個結點（i>=1）

證明：（歸納法）

　　　歸納基：i=1時，只有一個結點，2^i-1=2⁰=1；

　　　歸納假設：假設對所有的i命題成立；

　　　歸納證明：二叉樹中每個結點最多有兩個子樹，則第i+1層的結點數為2*2^i-2=2^i-1.

• 深度為h的二叉樹至多有2^h-1個結點（h>=1）

　　　　證明：n=2⁰+2¹+...+2^h-1=2^h-1.（等比數列）

• 對於一棵二叉樹，若含有n₀個葉子結點，n₂個度為2的結點，則必存在關系式：n₂=n₀-1

　　　　證明：設二叉樹的結點總數為n=n₀+n₁+n₂;

　　　　　　　二叉樹上的分支總數為b=n₁+2n₂;

　　　　        又b=n-1;

　　　　        故：n₂=n₀-1.

• 具有n個結點的完全二叉樹的深度為[log₂n]+1.[]表示取整

　　　　證明：設完全二叉樹的深度為k，則：2^k-1<=n<2^k

　　　　　　　即k-1<=log₂n<k

　　　　　　　因為k只能取整數，所以k=[log₂n]+1.

• 若對含n個結點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行1至n的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號為i的結點：

　　　　若i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親，否則，編號為[i/2]的結點為其雙親結點；

　　　　若2i>n，則該結點無左孩子結點，否則，編號為2i的結點為其左孩子結點；

　　　　若2i+1>n，則該結點無右孩子結點，否則，編號為2i+1的結點為其右孩子結點。

　　　　證明：設完全二叉樹中第i個結點的位置為第k層第j個結點，即i=2^k-1-1+j;

　　　　　　　則左孩子結點的索引為：l=2^k-1+2(j-1)+1=2*(2^k-1-1+j)=2*i;

　　　　　　　左孩子結點的索引為：r=2^k-1+2(j-1)+2=2*(2^k-1-1+j)+1=2*i+1;

 2. 二叉樹中各種結點數目的計算

　　若一個完全二叉樹的結點數目為n，求n₀，n₁，n₂，數的高度h，左孩子結點數目nl和右孩子結點數目nr？

　　（n₀為度為0的結點，n₁為度為1的結點，n₂為度為2的結點）

　　求解思路：

　　樹的高度h=[log₂n]+1;

　　因為是完全二叉樹，所以1~h-1層全滿；

　　前h-1層的結點數目為n_h-1=2^h-1-1;

　　第h層的葉子結點數目為n_c1=n-n_h-1;

　　第h-1層的葉子結點數目為n_c2=2^h-2-ceil(n_c1/2);（ceil為向上取整）

　　所以n₀=n_c1+n_c2;

　　n₂=n₀-1;

　　n₁=n-n₀-n₂;

　　左孩子結點數目n_l=n₂+n₁;

　　右孩子結點數目n_r=n₂;