求反射向量
在圖形學中，計算光照模型時，經常需要求取反射向量，一般的shader函數庫都提供計算反射向量的方法，下面介紹一下如何手動計算反射向量。
給定入射光線向量I和平面法向量N，求反射向量R，如下圖。為了方便計算，這里假定I和N都是單位向量（模為1，編程時可先將I和N單位化）
方法一
設入射光線向量I和反射平面的法向量N之間的夾角為theta。連接I的始端和R的末端，則有
R = 2P - I （1）
現在問題變成了如何求取P，設入射點0到P與N的交點的向量為S，那么有
P = I + S （2）
現在問題變成了如何求取向量S，向量S即向量-N（注意，這里是-N，因為S和N的方向相反。）在向量N上的投影，根據向量的投影公式有
因為N是單位向量，簡化一下得到
將S代入公式（2），再將P代入公式（1）得到
方法二
將R平移一下，與向量N的延長線相交。
由於入射角和反射角相等，且I和R的長度也相等，所以三角形ION是等腰三角形。故有
ON = 2S
所以有
R = I + 2S
而S是-I在N上的投影，所以有
由於N是單位向量，簡化一下得到
所以
貌似方法二更直觀些。
向量投影
給定一個向量u和v，求u在v上的投影向量，如下圖。
假設u在v上的投影向量是u’，且向量u和v的夾角為theta。一個向量有兩個屬性，大小和方向，我們先確定u’的大小（即長度，或者模），從u的末端做v的垂線，那么d就是u’的長度。而u’和v的方向是相同的，v的方向v/|v|也就是u’的方向。所以有
(1)
再求d的長度。
(2)
最后求cos(theta)
(3)
聯合求解方程（1）（2）（3）得到
這就是最終的投影向量。
而這個向量的長度d是
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以下是舊的推導，也保留。
