二分查找的二分法和黃金分割點比較

筆記和代碼的思路來源：

好大學慕課浙江大學陳越、何欽銘的《數據結構》

討論3.1 黃金分割查找？

老師參與

在二分查找中，我們是取mid等於left和right的中間值，即用等分的方法進行查找。

那為什么一定要等分吶？能不能進行“黃金分割”？也就是mid=left+0.618(right-left),當然mid要取整數。如果這樣查找，時間復雜性是多少？也許你還可以編程做個試驗，比較一下二分法和“黃金分割”法的執行效率。

 

證明來自好白的小白。

二分法每次能有100%的概率能只剩50%的數據，每次剩下的期望為50%，即每次除以2。所以時間復雜度是。

而黃金分割的話每次都有0.618的概率剩0.618，0.382的概率剩0.382，每次剩下的期望為0.528，即每次除以1.894。所以時間復雜度是。

 

雖然兩者都是O(logN)類，但是系數不同，黃金分割法所需時間約為二分法的1.085倍（此處沒考慮取整……）。

 

假設分割點距左側的距離除以全長等於p，那么每次剩下的期望為個全長。要讓這個期望最小，我們知道p要等於1-p。所以p=0.5。所以二分法分在正中。

好白的小白

 

下面是是自己的代碼和測試過程：

 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<math.h>

#define MAXSIZE 1000000

typedef int dataType;

typedef struct node{
    dataType data[MAXSIZE];
    int length;
}lis,*pList;


pList createEmptyList(){
    pList list = (pList)malloc(sizeof(lis));
    if(list){
        list->length=-1;
    }
    return list;
}

int isFull(pList list){
    return (list->length==MAXSIZE-1);
}

int isEmpty(pList list){
    return (list->length==-1);
}

void insert(pList list,dataType element){
    if(isFull(list)){
        printf("the list has full");
        return;
    }
    list->data[++(list->length)]=element;

}

dataType findIndex(pList list,int index){
    if(isEmpty(list)){
        printf("the list is empty");
        return;
    }
    return list->data[index];
}

void toString(pList list){
    int length=0;
    printf("\ntoString:");
    while(length<=list->length){
        printf("%d ",list->data[length]);
        length++;
    }
}


/*
不使用哨兵是算法就會導致每次循環進行一次i<=list->length的判斷，
為了演示方便，我們這里的數組角標從1開始，0角標存放的是數組的長度+1
*/
int orderSearch(pList list,int element){
    int i;
    for(i=0;i<=list->length && list->data[i]!=element;i++);
    if(i>list->length){
        return -1;
    }else{
        return i;
    }
}

/*
使用順序查找，使用哨兵算法，
如果使用哨兵算法，那么數組的第一個元素就只能存放數組的長度
數組的真正的角標是從1開始的。0號角標存放的需要查找的元素element，
當循環退出是，要么是找到了，返回找到元素的角標i
要么是i=0;沒找到
*/
int orderSearch2(pList list,int element){
    int i;
    list->data[0]=element;
    for(i=list->length;list->data[i]!=element;i--);
    return i;//0表示沒有找到
}

/*二分查找，去終點作為分割點*/
int binarySearch(pList list,int element){
    int left=1;
    int right=list->length;
    while(left<=right){
        int mid=(right+left)/2;
        if(element>list->data[mid]){
            left=mid+1;
        }else if(element<list->data[mid]){
            right = mid - 1;
        }else{
            return mid;
        }
    }
    return -1;//沒找到，返回-1
}

/*
二分查找，取黃金分割點作為中點
*/
int binarySearch2(pList list,int element){
    int left=1;
    int right=list->length;
    while(left<=right){
        int mid=left+0.618*(right-left);
        if(element>list->data[mid]){
            left=mid+1;
        }else if(element<list->data[mid]){
            right = mid - 1;
        }else{
            return mid;
        }
    }
    return -1;//沒找到，返回-1
}


void main(){
    int i=0,j=0;
    clock_t start,end;
    double duration;//used to stored top - end

    int count =10;
    pList list = createEmptyList();

    insert(list,MAXSIZE);
    for(i=1;i<MAXSIZE;i++){
        insert(list,i);
    }



    start=clock();
    start=clock();
    for(j=0;j<count;j++){
        for(i=0;i<MAXSIZE;i++){
            binarySearch(list,i);//使用中點分割
        }
    }
    end=clock();
    duration=((double)(end-start))/CLK_TCK/MAXSIZE/count;
    printf("use middle as the split point:%f\n",duration);


    start=clock();
    for(j=0;j<count;j++){
        for(i=0;i<MAXSIZE;i++){
            binarySearch2(list,i);//使用黃金分割點分割
        }
    }
    end=clock();
    duration=((double)(end-start))/CLK_TCK/MAXSIZE/count;
    printf("use huangJinFenGeDian as the split point:%f\n",duration);


    //toString(list);

/*
    insert(list,10);
    for(i=1;i<=10;i++){
        insert(list,i);
    }
    printf("%d ",orderSearch2(list,7));
    printf("%d ",orderSearch2(list,11));
    printf("%d ",binarySearch(list,9));
    printf("%d ",binarySearch(list,11));
    toString(list);
*/
}

 

進行累計計時就求平均的思想，但是當count=100時，PC機運算時間太慢了，就沒有測試。

下面是count=10的測試結果，發現基本上查不了多少。但是上面的邏輯證明更加准確。