注：代價函數（有的地方也叫損失函數，Loss Function）在機器學習中的每一種算法中都很重要，因為訓練模型的過程就是優化代價函數的過程，代價函數對每個參數的偏導數就是梯度下降中提到的梯度，防止過擬合時添加的正則化項也是加在代價函數后面的。在學習相關算法的過程中，對代價函數的理解也在不斷的加深，在此做一個小結。
1. 什么是代價函數？
假設有訓練樣本(x, y)，模型為h，參數為θ。h(θ) = θTx（θT表示θ的轉置）。
（1）概況來講，任何能夠衡量模型預測出來的值h(θ)與真實值y之間的差異的函數都可以叫做代價函數C(θ)，如果有多個樣本，則可以將所有代價函數的取值求均值，記做J(θ)。因此很容易就可以得出以下關於代價函數的性質：
- 對於每種算法來說，代價函數不是唯一的；
- 代價函數是參數θ的函數；
- 總的代價函數J(θ)可以用來評價模型的好壞，代價函數越小說明模型和參數越符合訓練樣本(x, y)；
- J(θ)是一個標量；
（2）當我們確定了模型h，后面做的所有事情就是訓練模型的參數θ。那么什么時候模型的訓練才能結束呢？這時候也涉及到代價函數，由於代價函數是用來衡量模型好壞的，我們的目標當然是得到最好的模型（也就是最符合訓練樣本(x, y)的模型）。因此訓練參數的過程就是不斷改變θ，從而得到更小的J(θ)的過程。理想情況下，當我們取到代價函數J的最小值時，就得到了最優的參數θ，記為：
$$\displaystyle \min_{ \theta } J(\theta)$$
例如，J(θ) = 0，表示我們的模型完美的擬合了觀察的數據，沒有任何誤差。
（3）在優化參數θ的過程中，最常用的方法是梯度下降，這里的梯度就是代價函數J(θ)對θ1, θ2, ..., θn的偏導數。由於需要求偏導，我們可以得到另一個關於代價函數的性質：
- 選擇代價函數時，最好挑選對參數θ可微的函數（全微分存在，偏導數一定存在）
2. 代價函數的常見形式
經過上面的描述，一個好的代價函數需要滿足兩個最基本的要求：能夠評價模型的准確性，對參數θ可微。
2.1 均方誤差
在線性回歸中，最常用的是均方誤差(Mean squared error)，具體形式為：
$$J(\theta_0, \theta_1) = \frac{ 1 }{ 2m } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ m } (\hat{ y }^{(i)} - y^{(i)})^2 = \frac{ 1 }{ 2m } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ m } (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 $$
m：訓練樣本的個數；
hθ(x)：用參數θ和x預測出來的y值；
y：原訓練樣本中的y值，也就是標准答案
上角標(i)：第i個樣本
2.2 交叉熵
在邏輯回歸中，最常用的是代價函數是交叉熵(Cross Entropy)，交叉熵是一個常見的代價函數，在神經網絡中也會用到。下面是《神經網絡與深度學習》一書對交叉熵的解釋：
交叉熵是對「出乎意料」（譯者注：原文使用suprise）的度量。神經元的目標是去計算函數y, 且y=y(x)。但是我們讓它取而代之計算函數a, 且a=a(x)。假設我們把a當作y等於1的概率，1−a是y等於0的概率。那么，交叉熵衡量的是我們在知道y的真實值時的平均「出乎意料」程度。當輸出是我們期望的值，我們的「出乎意料」程度比較低；當輸出不是我們期望的，我們的「出乎意料」程度就比較高。
在1948年，克勞德·艾爾伍德·香農將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農熵(Shannon Entropy)，它是香農信息量(Shannon Information Content, SIC)的期望。香農信息量用來度量不確定性的大小：一個事件的香農信息量等於0，表示該事件的發生不會給我們提供任何新的信息，例如確定性的事件，發生的概率是1，發生了也不會引起任何驚訝；當不可能事件發生時，香農信息量為無窮大，這表示給我們提供了無窮多的新信息，並且使我們無限的驚訝。更多解釋可以看這里。
$$J(\theta) = -\frac{ 1 }{ m }[\sum_{ i=1 }^{ m } ({y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})})]$$
符號說明同上
2.3 神經網絡中的代價函數
學習過神經網絡后，發現邏輯回歸其實是神經網絡的一種特例（沒有隱藏層的神經網絡）。因此神經網絡中的代價函數與邏輯回歸中的代價函數非常相似：
$$J(\theta) = -\frac{ 1 }{ m }[\sum_{ i=1 }^{ m } \sum_{ k=1 }^{ K } ({y_k^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1 - y_k^{(i)}) \log (1 - (h_\theta(x^{(i)}))_k})]$$
這里之所以多了一層求和項，是因為神經網絡的輸出一般都不是單一的值，K表示在多分類中的類型數。
例如在數字識別中，K=10，表示分了10類。此時對於某一個樣本來說，輸出的結果如下：
1.1266e-004 1.7413e-003 2.5270e-003 1.8403e-005 9.3626e-003 3.9927e-003 5.5152e-003 4.0147e-004 6.4807e-003 9.9573e-001
一個10維的列向量，預測的結果表示輸入的數字是0~9中的某一個的概率，概率最大的就被當做是預測結果。例如上面的預測結果是9。理想情況下的預測結果應該如下（9的概率是1，其他都是0）：
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
比較預測結果和理想情況下的結果，可以看到這兩個向量的對應元素之間都存在差異，共有10組，這里的10就表示代價函數里的K，相當於把每一種類型的差異都累加起來了。
3. 代價函數與參數
代價函數衡量的是模型預測值h(θ) 與標准答案y之間的差異，所以總的代價函數J是h(θ)和y的函數，即J=f(h(θ), y)。又因為y都是訓練樣本中給定的，h(θ)由θ決定，所以，最終還是模型參數θ的改變導致了J的改變。對於不同的θ，對應不同的預測值h(θ)，也就對應着不同的代價函數J的取值。變化過程為：
$$\theta --> h(\theta) --> J(\theta)$$
θ引起了h(θ)的改變，進而改變了J(θ)的取值。為了更直觀的看到參數對代價函數的影響，舉個簡單的例子：
有訓練樣本{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4)}，即4對訓練樣本，每個樣本對中第1個數表示x的值，第2個數表示y的值。這幾個點很明顯都是y=x這條直線上的點。如下圖：
圖1：不同參數可以擬合出不同的直線
""" Spyder Editor Python 3.6, Belter, 20170401 """ import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np X = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T # 都轉換成列向量 y = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T theta1 = np.array([[0, 0]]).T # 三個不同的theta_1值 theta2 = np.array([[0, 0.5]]).T theta3 = np.array([[0, 1]]).T X_size = X.shape X_0 = np.ones((X_size[0],1)) # 添加x_0 X_with_x0 = np.concatenate((X_0, X), axis=1) h1 = np.dot(X_with_x0, theta1) h2 = np.dot(X_with_x0, theta2) h3 = np.dot(X_with_x0, theta3) plt.plot(X, y, 'rx', label='y') plt.plot(X, h1, 'b', label='h1, theta_1=0') plt.plot(X, h2, 'm', label='h2, theta_1=0.5') plt.plot(X, h3, 'g', label='h3, theta_1=1') plt.xlabel('X') plt.ylabel('y/h') plt.axis([-0.1, 4.5, -0.1, 4.5]) plt.legend(loc='upper left') plt.savefig('liner_gression_error.png', dpi=200)
常數項為0，所以可以取θ0=0，然后取不同的θ1，可以得到不同的擬合直線。當θ1=0時，擬合的直線是y=0，即藍色線段，此時距離樣本點最遠，代價函數的值（誤差）也最大；當θ1=1時，擬合的直線是y=x，即綠色線段，此時擬合的直線經過每一個樣本點，代價函數的值為0。
通過下圖可以查看隨着θ1的變化，J(θ)的變化情況：
圖2：代價函數J(θ)隨參數的變化而變化
""" Spyder Editor Python 3.6, Belter, 20170401 """ # 計算代價函數的值 def calcu_cost(theta, X, y): m = X.shape[0] # sample size X_0 = np.ones((m,1)) X_with_x0 = np.concatenate((X_0, X), axis=1) h = np.dot(X_with_x0, theta) return(np.dot((h-y).T, (h-y))/(2*m)) X = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T y = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T theta_0 = np.zeros((101, 1)) theta_1 = np.array([np.linspace(-2, 4, 101)]).T theta = np.concatenate((theta_0, theta_1), axis=1) # 101組不同的參數 J_list = [] for i in range(101): current_theta = theta[i:i+1].T cost = calcu_cost(current_theta, X, y) J_list.append(cost[0,0]) plt.plot(theta_1, J_list) plt.xlabel('theta_1') plt.ylabel('J(theta)') plt.savefig('cost_theta.png', dpi=200)
從圖中可以很直觀的看到θ對代價函數的影響，當θ1=1時，代價函數J(θ)取到最小值。因為線性回歸模型的代價函數（均方誤差）的性質非常好，因此也可以直接使用代數的方法，求J(θ)的一階導數為0的點，就可以直接求出最優的θ值（正規方程法）。
4. 代價函數與梯度
梯度下降中的梯度指的是代價函數對各個參數的偏導數，偏導數的方向決定了在學習過程中參數下降的方向，學習率（通常用α表示）決定了每步變化的步長，有了導數和學習率就可以使用梯度下降算法（Gradient Descent Algorithm）更新參數了。下圖中展示了只有兩個參數的模型運用梯度下降算法的過程。
4.1 線性回歸模型的代價函數對參數的偏導數
還是以兩個參數為例，每個參數都有一個偏導數，且綜合了所有樣本的信息。
4.2 邏輯回歸模型的代價函數對參數的偏導數
根據邏輯回歸模型的代價函數以及sigmoid函數
$$h_{\theta}(x)=g(\theta^{T}x)$$
$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
得到對每個參數的偏導數為
$$\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}J(\theta) =\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{i})-y^i)x_j^i$$
詳細推導過程可以看這里-邏輯回歸代價函數的導數
4.3 神經網絡中的代價函數對參數的偏導數
這里的計算過程與前面都不一樣，后面再補充。
重大修訂：
2017.8.14 修改排版，補充對交叉熵的解釋
References
https://www.quora.com/How-are-the-cost-functions-for-Neural-Networks-derived/answer/Daniel-Watson-22?srid=uIoGQ
https://www.zhihu.com/question/23468713
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B5_(%E4%BF%A1%E6%81%AF%E8%AE%BA)
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s3.html
Coursera, Andrew Ng 公開課第一周，第三周，第五周
http://math.stackexchange.com/questions/477207/derivative-of-cost-function-for-logistic-regression
http://math.stackexchange.com/questions/947604/gradient-tangents-planes-and-steepest-direction