機器學習之代價函數（cost function）

代價函數（有的地方也叫損失函數，Loss Function）在機器學習中的每一種算法中都很重要，因為訓練模型的過程就是優化代價函數的過程，代價函數對每個參數的偏導數就是梯度下降中提到的梯度，防止過擬合時添加的正則化項也是加在代價函數后面的。在學習相關算法的過程中，對代價函數的理解也在不斷的加深，在此做一個小結。

 

什么是代價函數？

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假設有訓練樣本(x, y)，模型為h，參數為θ。h(θ) = θ^Tx（θ^T表示θ的轉置）。

（1）概況來講，任何能夠衡量模型預測出來的值h(θ)與真實值y之間的差異的函數都可以叫做代價函數C(θ)，如果有多個樣本，則可以將所有代價函數的取值求均值，記做J(θ)。因此很容易就可以得出以下關於代價函數的性質：

• 對於每種算法來說，代價函數不是唯一的；
• 代價函數是參數θ的函數；
• 總的代價函數J(θ)可以用來評價模型的好壞，代價函數越小說明模型和參數越符合訓練樣本(x, y)；
• J(θ)是一個標量；

（2）當我們確定了模型h，后面做的所有事情就是訓練模型的參數θ。那么什么時候模型的訓練才能結束呢？這時候也涉及到代價函數，由於代價函數是用來衡量模型好壞的，我們的目標當然是得到最好的模型（也就是最符合訓練樣本(x, y)的模型）。因此訓練參數的過程就是不斷改變θ，從而得到更小的J(θ)的過程。理想情況下，當我們取到代價函數J的最小值時，就得到了最優的參數θ，記為：

 

minθJ(θ)minθJ(θ)

 

例如，J(θ) = 0，表示我們的模型完美的擬合了觀察的數據，沒有任何誤差。

（3）在優化參數θ的過程中，最常用的方法是梯度下降，這里的梯度就是代價函數J(θ)對θ₁, θ₂, ..., θ_n的偏導數。由於需要求偏導，我們可以得到另一個關於代價函數的性質：

• 選擇代價函數時，最好挑選對參數θ可微的函數（全微分存在，偏導數一定存在）

 

代價函數的常見形式

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經過上面的描述，一個好的代價函數需要滿足兩個最基本的要求：能夠評價模型的准確性，對參數θ可微。 

（1）在線性回歸中，最常用的是均方誤差(Mean squared error)，即

 

J(θ0,θ1)=12m∑i=1m(y^(i)−y(i))2=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2J(θ0,θ1)=12m∑i=1m(y^(i)−y(i))2=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2

 

m：訓練樣本的個數；

h_θ(x)：用參數θ和x預測出來的y值；

y：原訓練樣本中的y值，也就是標准答案

上角標(i)：第i個樣本

（2）在邏輯回歸中，最常用的是代價函數是交叉熵(Cross Entropy)，交叉熵是一個常見的代價函數，在神經網絡中也會用到。下面是《神經網絡與深度學習》一書對交叉熵的解釋：

 交叉熵是對「出乎意料」（譯者注：原文使用suprise）的度量。神經元的目標是去計算函數x→y=y(x)。但是我們讓它取而代之計算函數x→a=a(x)。假設我們把a當作y等於1的概率，1−a是y等於0的概率。那么，交叉熵衡量的是我們在知道y的真實值時的平均「出乎意料」程度。當輸出是我們期望的值，我們的「出乎意料」程度比較低；當輸出不是我們期望的，我們的「出乎意料」程度就比較高。

在1948年，克勞德·艾爾伍德·香農將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農熵(Shannon Entropy)，它是香農信息量(Shannon Information Content, SIC)的期望。香農信息量用來度量不確定性的大小：一個事件的香農信息量等於0，表示該事件的發生不會給我們提供任何新的信息，例如確定性的事件，發生的概率是1，發生了也不會引起任何驚訝；當不可能事件發生時，香農信息量為無窮大，這表示給我們提供了無窮多的新信息，並且使我們無限的驚訝。更多解釋可以看這里。

 

J(θ)=−1m[∑i=1m(y(i)loghθ(x(i))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]J(θ)=−1m[∑i=1m(y(i)log⁡hθ(x(i))+(1−y(i))log⁡(1−hθ(x(i)))]

 

符號說明同上 

（3）學習過神經網絡后，發現邏輯回歸其實是神經網絡的一種特例（沒有隱藏層的神經網絡）。因此神經網絡中的代價函數與邏輯回歸中的代價函數非常相似：

 

J(θ)=−1m[∑i=1m∑k=1K(y(i)kloghθ(x(i))+(1−y(i)k)log(1−(hθ(x(i)))k)]J(θ)=−1m[∑i=1m∑k=1K(yk(i)log⁡hθ(x(i))+(1−yk(i))log⁡(1−(hθ(x(i)))k)]

 

這里之所以多了一層求和項，是因為神經網絡的輸出一般都不是單一的值，K表示在多分類中的類型數。

例如在數字識別中，K=10，表示分了10類。此時對於某一個樣本來說，輸出的結果如下：

  1.1266e-004
  1.7413e-003
  2.5270e-003
  1.8403e-005
  9.3626e-003
  3.9927e-003
  5.5152e-003
  4.0147e-004
  6.4807e-003
  9.9573e-001

一個10維的列向量，預測的結果表示輸入的數字是0~9中的某一個的概率，概率最大的就被當做是預測結果。例如上面的預測結果是9。理想情況下的預測結果應該如下（9的概率是1，其他都是0）：

   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   1

比較預測結果和理想情況下的結果，可以看到這兩個向量的對應元素之間都存在差異，共有10組，這里的10就表示代價函數里的K，相當於把每一種類型的差異都累加起來了。

 

代價函數與參數

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代價函數衡量的是模型預測值h(θ) 與標准答案y之間的差異，所以總的代價函數J是h(θ)和y的函數，即，J=f(h(θ), y)。又因為y都是訓練樣本中給定的，h(θ)有θ決定，所以，最終還是模型參數θ的改變導致了J的改變。對於不同的θ，對應不同的預測值h(θ)，也就對應着不同的代價函數J的取值。變化過程為：

 

θ−>h(θ),y−>J(θ)θ−>h(θ),y−>J(θ)

 

為了更直觀的看到參數對代價函數的影響，舉個簡單的例子：

有訓練樣本{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4)}，即4對訓練樣本，每個樣本中第1個是x的值，第2個是y的值。這幾個點很明顯都是y=x這條直線上的點。如下圖：

 

常數項為0，所以可以取θ₀=0，然后取不同的θ₁，可以得到不同的擬合直線。當θ₁=0時，擬合的直線是y=0，即藍色線段，此時距離樣本點最遠，代價函數的值（誤差）也最大；當θ₁=1時，擬合的直線是y=x，即綠色線段，此時擬合的直線經過每一個樣本點，代價函數的值為0。

通過下圖可以查看隨着θ₁的變化，J(θ)的變化情況：

 

從圖中可以很直觀的看到θ對代價函數的影響，當θ₁=1時，代價函數J(θ)取到最小值。因為線性回歸模型的代價函數（均方誤差）的性質非常好，因此也可以直接使用代數的方法，求J(θ)的一階導數為0的點，就可以直接求出最優的θ值。

 

代價函數與梯度

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 梯度下降中的梯度指的是代價函數對各個參數的偏導數，偏導數的方向決定了在學習過程中參數下降的方向，學習率（通常用α表示）決定了每步變化的步長，有了導數和學習率就可以使用梯度下降算法（Gradient Descent Algorithm）更新參數了。下圖中展示了只有兩個參數的模型運用梯度下降算法的過程。

 

 

 

下圖可以看做是代價函數J(θ)與參數θ做出的圖，曲面上的一個點(θ ₀, θ ₁, J(θ))，有無數條切線，在這些切線中與x-y平面(底面，相當於θ ₀, θ ₁)夾角最大的那條切線就是該點梯度的方向，沿該方向移動，會產生最大的高度(相對於z軸，這里的z軸相當於代價函數J(θ))變化。

 

（1）線性回歸模型的代價函數對參數的偏導數：

 

 還是以兩個參數為例，每個參數都有一個偏導數，且綜合了所有樣本的信息。

（2）邏輯回歸模型的代價函數對參數的偏導數：

根據邏輯回歸模型的代價函數以及sigmoid函數

 

hθ(x)=g(θTx)hθ(x)=g(θTx)

 

 

g(z)=11+e−zg(z)=11+e−z

 

得到對每個參數的偏導數為

 

∂∂θjJ(θ)=∑i=1m(hθ(xi)−yi)xij∂∂θjJ(θ)=∑i=1m(hθ(xi)−yi)xji

 

 詳細推導過程可以看這里-邏輯回歸代價函數的導數

（3）神經網絡中的代價函數對參數的偏導數：

 這里的計算過程與前面都不一樣，后面再補充。

 

 

 

References

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https://www.quora.com/How-are-the-cost-functions-for-Neural-Networks-derived/answer/Daniel-Watson-22?srid=uIoGQ

https://www.zhihu.com/question/23468713

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%86%B5_(%E4%BF%A1%E6%81%AF%E8%AE%BA)

https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s3.html

Coursera, Andrew Ng 公開課第一周，第三周，第五周

http://math.stackexchange.com/questions/477207/derivative-of-cost-function-for-logistic-regression

http://math.stackexchange.com/questions/947604/gradient-tangents-planes-and-steepest-direction