經典的導彈攔截問題——動態規划和一點形式化證明

這是一道動態規划的經典問題，很多人的博客有寫過，但是很多地方只有前半部分，后半部分題目有一些需要認真想想的點我也沒見到令我滿意的證明，不然我也不會再去寫一次來說這個題目的。

問題描述
　　某國為了防御敵國的導彈襲擊，發展出一種導彈  攔截系統。但是這種導彈攔截系統有一個缺陷：雖然它的第一發炮彈能夠到達任意的高度，但是以后每一發炮彈都不能高於前一發的高度。某天，雷達捕捉到敵國的  導彈來襲。由於該系統還在試用階段，所以只有一套系統，因此有可能不能攔截所有的導彈。

　　輸入導彈依次飛來的高度（雷達給出的高度數據是不大於30000的正整數），計算這套系統最多能攔截多少導彈，如果要攔截所有導彈最少要配備多少套這種導彈攔截系統。
輸入格式
　　一行，為導彈依次飛來的高度
輸出格式
　　兩行，分別是最多能攔截的導彈數與要攔截所有導彈最少要配備的系統數
樣例輸入
389  207  155  300  299  170  158  65
樣例輸出
6
2

————————PART I————————

求數組的非增序列，動態規划來做。先斟酌一個選擇，子結構的划分依據<采用當前點，不采用當前點>的背包思想，還是依據<必有當前點+后面每種可以的序列>？很容易明白第二種方法是好的，即是結果不是簡單讀d[0]，也只需要一趟遍歷找最大就可以得到結果。第一種其實沒什么吸引力。

首次得到最長序列長度后打印結果這些都OK。

————————PART II————————

之后需要多次DP，並用結果來削減數組元素直至空，我用的是vector，所以獲得要刪除的元素位置后就可以簡單的erase了。在動態規划時我維護一個parent數組記錄每條路徑，所以只要找到入口也就好辦了。

但是一直有一個疑問，當有兩條長度相等的序列可供erase時，是不是會對下一趟遍歷產生影響？這里需要證明一下才能得到算法的正確性。

當前數組為A=<X1,X2,...,Xn>，DP獲得兩條路徑A1=<Xa,...>，A2=<Xb,...>長度相同，A1和A2在最大區間[i, j]內元素數相同且沒有相同元素(*)。假設之后對A-A1某一次動態規划獲得的子序列長度小於來自A-A2的，所以這某一次DP后的序列中，(A-A1∩[i, j])∩(A-A2∩[i, j])=Ø，且Size(A-A1∩[i, j])<Size(A-A2∩[i, j])，那么在起始序列A中，[i, j]區間內，Size(A1∩[i, j])<Size(A2∩[i, j])，與假設*不符，所以之后某一次DP中，不會產生有差異的結果。所以算法不區分最長DP結果（們）的路徑是安全的。

 

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

int dp(vector<int> &v)
{
    int n = v.size();
    vector<int> d(n, 1);
    vector<int> p(n, -1);    //parent
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i)
    {
        for (int j = i + 1; j < n; ++j)
        {
            //不分開討論要不要采取這個數必須采取
            if (v[i] >= v[j] && d[i] < d[j] + 1)
            {
                d[i] = d[j] + 1;
                p[i] = j;
            }
        }
    }
    int mx = -1;
    int pos = 0;
    for (int i = pos; i < n; ++i)
    {
        if (d[i] > mx)
        {
            mx = d[i];
            pos = i;
        }
    }
    //整理數組
    vector<int> del;
    int i = pos;
    while (p[i] != -1)
    {
        del.insert(del.begin(), i);
        i = p[i];
    }
    del.insert(del.begin(), i);
    for (i = 0; i < del.size(); ++i)
    {
        v.erase(v.begin() + del[i]);
    }
    return mx;
}
int main()
{
    vector<int> v;
    int h;
    while (cin >> h) v.push_back(h);
    int i = 1;
    for (;; ++i)
    {
        int ans = dp(v);
        if (i == 1) cout << ans << endl;
        if (v.size() == 0) break;
    }
    cout << i << endl;
//    system("pause");
    return 0;
}