經典動態規划——背包問題系列一

復賽前發一波博客，雖然意義不是很大了……

本篇講的是背包問題基礎

01背包問題

簡述

有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的體積是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

思路

動態規划的基本題，背包問題之母。

對動態規划有一定了解的人應該都應理解它的原理和方程。

所謂動態規划，就是把問題分成互相聯系的多個階段決策，每一步決策都能影響答案。當然，各個階段決策的選取不是任意確定的，它依賴於當前面臨的狀態，又影響以后的發展。那么我們需要確定，各階段之間的關系是什么以及各狀態如何決策才能使答案最優。

在背包問題中，我們通常把背包容量設為狀態。那么我們需要決策，到底如何放置物品，才能使各階段背包在有限容量內裝價值最多的物品？

首先我們需要知道：背包容量大的狀態一定由容量小的狀態轉移過來，因為我們要不斷選物品，這樣是總重量越來越大。現在我們用f[i][j]示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。

我們只要枚舉物品，在有限的空間里取物品，並一直取max，就能在規定背包空間內跑完。

\[dp[i][v] = max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-c[i]]+w[i]） \]

為什么要逆着枚舉？因為容量大的狀態要從容量小的狀態轉移過來，而我們要固定每個容量去裝物品，所以要從大到小枚舉。

代碼

for(int i=1;i<=n;i++) 
	for(int j=v;j>=0;j--)
    {
        if(j >= c[i])
        	dp[i][j]=max(dp[i-1][j-c[i]]+w[i],dp[i-1][j]);
       	else
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
    }

優化

將我們可以優化一維空間，方程就變成了：

\[dp[v] = max(dp[v],dp[v-c[i]] + w[i]) \]

代碼

for(int j=v;j>=w[i];j--)
	dp[j] = max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);

拓展：背包方案數問題

簡述

還是01背包，現在讓你求取得物品總價值最大時的方案數。

思路

類似地，還是思考狀態是什么以及如何從上一個狀態轉移過來。我們還設狀態為前i個物品，以及背包體積v。動歸數組存的是方案數，然后思考如何轉移。

我們設dp[i][j]存的是最大價值，f[i][j]存的是方案數。

類比之前的方程，若dp[i][j]由dp[i-1][j]轉移過來，那么f[i][j]的應該等於f[i-1][j]；若dp[i][j]由dp[i][j-c[i]]轉移過來，那么f[i][j]也應該等於f[i][j-c[i]]；若dp[i][j-c[i]]與dp[i-1][j]相等，那么根據加法原理，f[i][j]應是f[i-1][j]與f[i][j-c[i]]的和。

所以我們得出了方程：

\[f[i][j] = \begin{cases} f[i-1][j]\ \ \ \ \ \ (dp[i-1][j] > dp[i][j-c[i]])\\ f[i][j-c[i]]\ \ \ (dp[i-1][j] < dp[i][j-c[i])\\ f[i-1][j] + f[i][j-c[i]]\ \ (dp[i-1][j] = dp[i][j-c[i]) \end{cases} \]

拓展：數字組合問題

簡述

給你n塊錢，有m種錢幣，每種錢幣只能用一次，問組成n塊錢有多少種方法。

思路

既然你要考慮用dp做，那你肯定會毫無疑問地去選擇前i個物品，選j個和錢數k作為狀態，用背包來計算方案數。

也就是

\[dp[i][j][k] += dp[i-1][j][k] \]

\[if(k >= v[i]) \\ dp[i][j][k] += dp[i-1][j-1][k-v[i]] \]

事實上這樣會超時。

所以要怎么做？

先將物品排升序，枚舉狀態\(i\)，表示第\(i\)個物品是未被選的物品中價值最小的一個物品。

那么價值比它小的物品，都在它左面，而且都會被選，把他們用前綴和維護起來。

現在你剩余一些錢j，從后面選取一些物品使價值最大但不超過j，這就是背包。

所以一共二維，時間復雜度空間復雜度皆降低。