樹形 DP 總結

本文轉自：http://blog.csdn.net/angon823/article/details/52334548

介紹

1、什么是樹型動態規划 

顧名思義，樹型動態規划就是在“樹”的數據結構上的動態規划，平時作的動態規划都是線性的或者是建立在圖上的，線性的動態規划有二種方向既向前和向后，相應的線性的動態規划有二種方法既順推與逆推，而樹型動態規划是建立在樹上的，所以也相應的有二個方向： 

    1、葉－>根：在回溯的時候從葉子節點往上更新信息

    2、根 - >葉：往往是在從葉往根dfs一遍之后（相當於預處理），再重新往下獲取最后的答案。

    不管是 從葉－>根 還是 從 根 - >葉，兩者都是根據需要采用，沒有好壞高低之分。

2、樹形動態規划的優美之處

樹真的是一種特別特別優美的結構！用來做動態規划也簡直是錦上添花再美不過的事，因為樹本身至少就有“子結構”性質（樹和子樹）；也本身就具有遞歸性。所以在樹上DP其實是其所當然的事，相比線性動態規划來講，轉移方程更直觀，更易理解。

3、難點

   1、和線性動態規划相比，樹形DP往往是要利用遞歸的，所以對遞歸不熟悉的同學，是一道小小的障礙，說是小小的，因為要去理解也不難。

   2、細節多，較為復雜的樹形DP，從子樹，從父親，從兄弟……已經一些小的要處理的地方，腦子不清晰的時候做起來頗為惡心

   3、狀態表示和轉移方程，也是真正難的地方。做到后面，樹形DP的老套路都也就那么多，難的還是怎么能想出轉移方程，狀壓DP、概率DP這些特別的DP應該說做到最后都是這樣！

4、補充

   建有向圖還是無向圖？ 一般來說我們做樹DP都是從上往下遞歸，如果不亂搞是不會從子節點往根節點的遍歷的，這時候可以建有向圖，只加邊一次就可以，對於有“思想潔癖”的人來說，如果加一次邊就可以再讓他加兩次是很難受的。但是有些題目可能很隱蔽的某個地方涉及到從子節點往上訪問，就會錯的很慘。所以，一般不非常確定建有向圖就可的話還是建無向圖吧。

正文

暫時分入門，一般、難三個等級，而不分類別。以后做的題目多了再改。

1、入門題

1、 HDU 1520 Anniversary party 子節點和父親節點不能同時選，問最大價值。 題解

2、 HDU 2196 Computer 求樹上每個點能到達的最遠距離   題解

2、一般

1、 D. Choosing Capital for Treeland 給一個n節點的有向無環圖，要找一個這樣的點：該點到其它n-1要逆轉的道路最少，（邊<u,v>，如果v要到u去，則要逆轉該邊方向） 題解

2、 Godfather  求樹的重心（刪除該點后子樹最大的最小） 題解

3、 POJ 3107 Tree Cutting  求刪除哪點后子樹最的小於等於節點總數的一半  題解

4、 POJ 3140 Contestants Division 刪除某邊后剩余兩個分支差值最小是多少  題解

3、難

1、 HDU 3586 Information Disturbing 給定一個帶權無向樹，要切斷所有葉子節點和1號節點（總根）的聯系，每次切斷邊的費用不能超過上限limit，問在保證總費用<=m下的最小的limit。 題解

2、 POJ 3162 Walking Race  一棵n個節點的樹。wc愛跑步，跑n天，第i天從第i個節點開始跑步，每次跑到距第i個節點最遠的那個節點（產生了n個距離），現在要在這n個距離里取連續的若干天，使得這些天里最大距離和最小距離的差小於M，問怎么取使得天數最多？ 題解

3、 HDU 5834 Magic boy Bi Luo with his excited tree 每個節點有一個價值Vi，每走一次一條邊要花費Ci，問從各個節點出發最多能收獲多少價值  題解

4、 POJ 2152 Fire n個節點組成的樹，要在樹一些點上建立消防站，每個點建站都有個cost[i]，每個點如果不在當前的點上建站，也要依賴其他的消防站，並且距離不超過limit[i]。求符合上述條件的最小費用建站方案  題解

5、 POJ 1741 Tree 求樹上距離小於等於K的點對有多少個  題解

 

 

列出一些經典問題吧：

1：給出一棵樹 每個節點有權值  要求父節點和子節點不能同時取 求能夠取得的最大值  (hdu1520)

2：給出一棵樹，求離每個節點最遠的點的距離 (hdu2196)

3：1>在一個地圖上，有N座城堡，每座城堡都有一定的寶物，在每次游戲中允許攻克M個城堡並獲得里面的寶物。但由於         地理位置原因，有些城堡不能直接攻克，要攻克這些城堡必須先攻克其他某一個特定的城堡。求獲得盡量多的寶物應         該攻克哪M個城堡。 (hdu1561)

題解：樹形dp+背包 

     2>每個節點有兩個值bug和brain，當清掃該節點的所有bug時就得到brain值，只有當父節點被清空時，才可以清掃它          的子節點，而清掃需要一定的人員。給定M個人員，N個結點的樹，求最大brain和 (hdu1011)

     3>現在有n個村子，你想要用收買m個村子為你投票，其中收買第i個村子的代價是val[i]。但是有些村子存在從屬關                系，如果B從屬於A國，則收買了A也意味着買通了B，而且這些關系是傳遞的。問你最小要付出的代價是多                        少？ (poj3345)

4：1>一棵樹，定義每個節點的balance值：去掉這點節點后的森林里所有樹的最大節點數。求出最小的balance值和其所           對應的節點編號(poj1655)

     2>給你一棵無向樹 T，要求依次去除樹中的某個結點，求去掉該結點后變成的森林 T' 中的最大分支。並要求該分支為            去除的結點盡可能少。答案可能有多個，需要按照節點編號從小到大輸出 (poj3107)

5：給一棵樹, n結點<=1000, 和K< =200,  在這棵樹上找大小為k的子樹, 使其點權和值最大 (zoj3201)

6：給一個樹狀圖，有n個點。求出，去掉哪個點，使得剩下的每個連通子圖中點的數量不超過n/2。如果有很多這樣的            點，就按升序輸出。n<=10000 (poj2378)

7：一棵n個結點的帶權無根樹，從中刪去一條邊，使得剩下來的兩棵子樹的節點權值之和的絕對值最小，並求出得到的最     小絕對值 (poj3140)

8：給出一些點，有值，給出一些邊，然后求去掉一條邊后將分成連通的兩部分，且兩部分的差值最小 (hdu2242)

9：有n個點組成一個樹，問至少要刪除多少條邊才能獲得一棵有p個結點的子樹 (poj1947)

10：一棵樹n<=1000(節點的分支<=8)，Snail在根處，它要找到在某個葉子處的house而其中一些節點上有worm，worm        會告訴它的house是否在這個子樹上求Snail最快尋找到house走過路徑的期望值 (poj2057)

11：給你一顆蘋果樹，有N個節點每個節點上都有一個蘋果也就是有一個權值，當你經過這個節點是你將得到這個權值，         重復走節點是只能算一次，給你N-1條邊。問你只能走K步能得到的最大權值和 (poj2486)

12：一顆二叉蘋果樹樹上結蘋果，要求剪掉幾棵枝，然后求保留Q根樹枝能保留的最多到蘋果數 (ural1018)

13：給定一棵樹，求最少連多少條邊，使得每個點在且僅在某一個環內。 (poj1848)

14：在一棵樹形的城市中建立一些消防站，但每個城市有一個最大距離限制，求需要的最小花費 (poj2152)