概率論中指數分布的應用

HDU5015（北京網絡賽題目）

 

題目大意：

 

Matt去發快遞，快遞點有N個職員，職員處理一個客戶的時間服從指數分布：f(t)=λe−λt,其中的參數λ為職員的效率，現在給出每個職員的效率，同時給了一個場景：現在每個職員都有且只有客戶在服務中，此人還從信息牌得知了每個職員已經為當前客戶服務了c時間，題目中也給出了，一旦有客戶被服務完畢，則這個人就立刻去接受服務。問在此場景下，這個人發快遞需要的時間的期望是多少？

 

解析：

首先幾何分布的一些性質： 
一個幾何分布的概率密度函數是： 

f(xλ)={λe−λx0,x≥0,,x<0.

概率分布函數為： 

F(xλ)={1−e−λx0,x≥0,,x<0.

指數分布具有“無記憶性”，如果一個隨機變量呈指數分布，它的條件概率遵循： 

P(T>s+t|T>t)=P(T>s)for all s,t≥0.

然后分析該題目，利用指數分布的無記憶性可以知道，如t0時刻,第i個職員第一個服務完當前客戶，那么接着就會服務Matt，然后服務完Matt。這個過程時間的期望就是我們要求的結果。 
因此我們要求的就是： 

∑i=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−λi∏j≠i(∫+∞xf(x:λj)dx)dx

解釋下上面長長的式子： 
第i個職員t時刻接待Matt的概率為λie−λi(此時第i個結束時間為t的概率)，乘上∏j≠i∫+∞xf(x:λj)dx（其它職員結束時間大於t的概率))；而這種情況下的時間為(E(Xi)+t) 
t可以從0一直取到+∞，把所有的職員按照上面的情況分析一邊，就有了上面的那個式子了。由於指數分布的無記憶性，可以知道題目中給的已服務時間實際上是沒有用的…… 
剩下的就是一些化簡計算了， 

∑k=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−λi∏j≠i(∫+∞xf(x:λj)dx)dx=∑k=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−λi∏j≠ieλjdx=∑k=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−∑Ni=1λidx=∑k=1N(1∑Ni=1λi+λi(∑Ni=1λi)2)=N+1∑Ni=1λi

有了這個公式代碼應該是不難寫，不過要注意這題數據比較多，cin或許或TLE～

這題是一道概率論的原題，可是比賽的時候看題都用了半天，最后還是沒有過掉

鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5035

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
double a[maxn],c[maxn];
int main()
{
    int n,t;
    scanf("%d",&t);
    for(int cas=1;cas<=t;cas++)
    {
        scanf("%d",&n);
        double sum=0.0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lf",&a[i]);
            sum+=a[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf",&c[i]);
        printf("Case #%d: %.6lf\n",cas,(n+1.0)/sum);
    }
    return 0;
}