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1 問題描述
問題描述
金明今天很開心，家里購置的新房就要領鑰匙了，新房里有一間金明自己專用的很寬敞的房間。更讓他高興的是，媽媽昨天對他說：“你的房間需要購買哪些物品，怎么布置，你說了算，只要不超過N元錢就行”。今天一早，金明就開始做預算了，他把想買的物品分為兩類：主件與附件，附件是從屬於某個主件的，下表就是一些主件與附件的例子：
如果要買歸類為附件的物品，必須先買該附件所屬的主件。每個主件可以有0個、1個或2個附件。附件不再有從屬於自己的附件。金明想買的東西很多，肯定會超過媽媽限定的N元。於是，他把每件物品規定了一個重要度，分為5等：用整數1~5表示，第5等最重要。他還從因特網上查到了每件物品的價格（都是10元的整數倍）。他希望在不超過N元（可以等於N元）的前提下，使每件物品的價格與重要度的乘積的總和最大。
設第j件物品的價格為v[j]，重要度為w[j]，共選中了k件物品，編號依次為j_1，j_2，……，j_k，則所求的總和為：
v[j_1]*w[j_1]+v[j_2]*w[j_2]+ …+v[j_k]*w[j_k]。（其中*為乘號）
請你幫助金明設計一個滿足要求的購物單。
| 主件 | 附件 |
| 電腦 | 打印機，掃描儀 |
| 書櫃 | 圖書 |
| 書桌 | 台燈，文具 |
| 工作椅 | 無 |
如果要買歸類為附件的物品，必須先買該附件所屬的主件。每個主件可以有0個、1個或2個附件。附件不再有從屬於自己的附件。金明想買的東西很多，肯定會超過媽媽限定的N元。於是，他把每件物品規定了一個重要度，分為5等：用整數1~5表示，第5等最重要。他還從因特網上查到了每件物品的價格（都是10元的整數倍）。他希望在不超過N元（可以等於N元）的前提下，使每件物品的價格與重要度的乘積的總和最大。
設第j件物品的價格為v[j]，重要度為w[j]，共選中了k件物品，編號依次為j_1，j_2，……，j_k，則所求的總和為：
v[j_1]*w[j_1]+v[j_2]*w[j_2]+ …+v[j_k]*w[j_k]。（其中*為乘號）
請你幫助金明設計一個滿足要求的購物單。
輸入格式
輸入文件budget.in 的第1行，為兩個正整數，用一個空格隔開：
N m
（其中N（<32000）表示總錢數，m（<60）為希望購買物品的個數。）
從第2行到第m+1行，第j行給出了編號為j-1的物品的基本數據，每行有3個非負整數
v p q
（其中v表示該物品的價格（v<10000），p表示該物品的重要度（1~5），q表示該物品是主件還是附件。如果q=0，表示該物品為主件，如果q>0，表示該物品為附件，q是所屬主件的編號）
N m
（其中N（<32000）表示總錢數，m（<60）為希望購買物品的個數。）
從第2行到第m+1行，第j行給出了編號為j-1的物品的基本數據，每行有3個非負整數
v p q
（其中v表示該物品的價格（v<10000），p表示該物品的重要度（1~5），q表示該物品是主件還是附件。如果q=0，表示該物品為主件，如果q>0，表示該物品為附件，q是所屬主件的編號）
輸出格式
輸出文件budget.out只有一個正整數，為不超過總錢數的物品的價格與重要度乘積的總和的最大值（<200000）。
樣例輸入
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
樣例輸出
2200
2 解決方案
本題考查動態規划法的運用，這幾天做的難題幾乎都是動態規划題，而且搞了幾個小時能拿滿分也很少，這題最終結果只拿了70分，原因有三組數據運行錯誤，以下代碼僅供參考，若有同學路過，指出錯誤，不勝感激~
首先，說一下解答這題的思想：該題是背包問題的變種，背包問題中狀態轉移方程為F(i, j) =max(F(i - 1, j),F(i - 1, j - w) + value)，其中j >= w，否則F(i, j) = F(i - 1, j)。這題的核心變化，就是后面新增的物品i可能是前面物品i - k的附件，購買附件就必須先買主件，所以得要考慮前面已經得到的最優解中是否已經購買過了該主件。
那么，怎樣解決此主件是否被購買的問題？那就是，把附件考慮到主件中，當后面新增一個物品i，該物品是附件時，直接令F(i, j) = F(i - 1, j)，相當於跳過附件i。
把附件考慮到主件的方法：
當遇到一個物品i，其是主件時（PS：題目規定，每個主件可以有0個、1個或2個附件），那么，具體購買有以下四種購買情況：
（1）僅僅購買主件
（2）購買主件和附件1
（3）購買主件和附件2
（4）購買主件和附件1和附件2
具體代碼如下：
import java.util.Scanner; public class Main { static class good { //物品內部類 public int v; //物品的價格 public int p; //物品的重要度 public int q; public int a1 = 0; //附件1的編號 public int a2 = 0; //附件2的編號 good(int v, int p, int q) { this.v = v; this.p = p; this.q = q; } public void setA1(int a1) { this.a1 = a1; } public void setA2(int a2) { this.a2 = a2; } } public int getMax(int a, int b) { return a > b ? a : b; } public void printResult(int N, good[] A) { int[][] dp = new int[A.length][N + 1]; for(int i = 1, len = A.length;i < len;i++) { int v = -1, v1 = -1, v2 = -1, v3 = -1, tempDp = -1, tempDp1 = -1, tempDp2 = -1, tempDp3 = -1; v = A[i].v; tempDp = v * A[i].p; if(A[i].a1 != 0) { //主件+附件1 v1 = v + A[A[i].a1].v; tempDp1 = tempDp + A[A[i].a1].v * A[A[i].a1].p; } if(A[i].a2 != 0){ //主件+附件2 v2 = v + A[A[i].a2].v; tempDp2 = tempDp + A[A[i].a2].v * A[A[i].a2].p; } if(A[i].a1 != 0 && A[i].a2 != 0) { //主件+附件1+附件2 v3 = v + A[A[i].a1].v + A[A[i].a2].v; tempDp3 = tempDp + A[A[i].a1].v * A[A[i].a1].p + A[A[i].a2].v * A[A[i].a2].p; } for(int j = 1;j <= N;j++) { if(A[i].q > 0) { //當物品i是附件時,相當於跳過 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; } else { dp[i][j] = dp[i - 1][j]; if(j >= v && v != -1) dp[i][j] = getMax(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v] + tempDp); if(j >= v1 && v1 != -1) dp[i][j] = getMax(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v1] + tempDp1); if(j >= v2 && v2 != -1) dp[i][j] = getMax(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v2] + tempDp2); if(j >= v3 && v3 != -1) dp[i][j] = getMax(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v3] + tempDp3); } } } System.out.println(dp[A.length - 1][N]); return; } public static void main(String[] args) { Main test = new Main(); Scanner in = new Scanner(System.in); int N = in.nextInt(); int m = in.nextInt(); if(m <= 0) { System.out.println(0); return; } good[] A = new good[m + 1]; int v, p, q; for(int i = 1;i <= m;i++) { v = in.nextInt(); p = in.nextInt(); q = in.nextInt(); A[i] = new good(v, p, q); if(q > 0) { if(A[q].a1 == 0) A[q].setA1(i); else A[q].setA2(i); } } test.printResult(N, A); } }
參考資料：
1.【Algothrim】 動態規划實例 (金明的預算方案 )