曲線擬合——（2）拉普拉斯/瑞利/對數正態 曲線

作者：桂。

時間：2017-03-15  21:12:18

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本文為擬合系列中的一部分，主要介紹拉普拉斯曲線 、瑞利曲線、對數正態曲線的擬合，並給出理論推導。

 

 

一、理論分析

　　A-拉普拉斯（Laplace）

對於拉普拉斯分布：

$f(x) = \frac{1}{{2b}}{e^{ - \frac{{\left| {x - \mu } \right|}}{b}}}$

假設數據點{$x_i$,$y_i$}（$i = 1,2,3,...N$）符合Laplace分布曲線，對其進行擬合（曲線擬合不同於分布擬合，需要乘以幅度$A$）,給出准則函數：

 

對准則函數$J_0$求解即可實現參數估計。

由於求導比較復雜（可以借助Mathmatica/Maple），因此這里換一個思路：如果$e^x$—>$y$，則$x$—>$lny$，重新定義准則函數：

后續求參就方便了。

給出調用fit實現的代碼：

clc;clear all;close all;
%generate the orignal data
mu = 3;
b = 2;
A = 4;
x=-10:.1:10;
y=A/2/b*exp(-abs(x-mu)/b)+0.05*randn(1,length(x));
subplot 211
scatter(x,y,'k');grid on;
 
%%curve fitting
%2-Laplace distribution
f = fittype('a*exp(-(abs(x-b)/c))');
[cfun,gof] = fit(x(:),y(:),f);
yo = cfun.a*exp(-(abs(x-cfun.b)/cfun.c));
%plot
subplot 212
scatter(x,y,'k');hold on;
grid on;
plot(x,yo,'g--','linewidth',2);

對應結果圖：

　　B-瑞利(Rayleigh)

對於瑞利分布：

$f(x) = \frac{x}{{{\sigma ^2}}}{e^{ - \frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$

給出准則函數：

只涉及一個參數$\sigma$，同樣是利用對數轉化，進而求取參數估計。

　　C-對數正態（Log-normal）

對數正態就是正態分布的變形，即$lnx$—>$x$，求參過程完全一致，可以參考：正態曲線擬合。

 

二、擬合優化

對於求取對數的估計准則，都會有誤差在0處較大的問題。關於優化的小trick,在分析正態分布曲線擬合時，已經給出詳細理論，此處不再展開。