圖像出增強之銳化---拉普拉斯銳化

（1）拉普拉斯理論

（2）拉普拉斯算子

（3）拉普拉斯實現

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（1）拉普拉斯理論

　　http://course.cug.edu.cn/pic_ana/wangluoketang/Chapter04/4.2.2.htm

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6163bdeb0100h1xf.html

更復雜些的濾波算子一般是先利用高斯濾波來平滑，然后計算其1階和2階微分。由於它們濾除高頻和低頻，因此稱為帶通濾波器（band-pass filters）。

在介紹具體的帶通濾波器前，先介紹必備的圖像微分知識。

1 一階導數

連續函數，其微分可表達為 ，或                         （1.1）

對於離散情況（圖像），其導數必須用差分方差來近似，有

                                   ，前向差分 forward differencing                  （1.2）

                                    ，中心差分 central differencing                     （1.3）

實例：技術圖像x方向導數

1 2	I = imread( 'coins.png' ); figure; imshow(I); Id = mipforwarddiff(I, 'dx' ); figure, imshow(Id);

       

    原圖像                                                   x方向1階導數

 

2 圖像梯度（Image Gradient）

圖像I的梯度定義為  ，其幅值為 。出於計算性能考慮，幅值也可用 來近似。

Matlab函數

1）gradient：梯度計算

2）quiver：以箭頭形狀繪制梯度。注意放大下面最右側圖可看到箭頭，由於這里計算橫豎兩個方向的梯度，因此箭頭方向都是水平或垂直的。

實例：仍采用上面的原始圖像

1 2 3 4 5

I = double (imread( 'coins.png' )); [dx,dy]=gradient(I); magnitudeI=sqrt(dx.^2+dy.^2); figure;imagesc(magnitudeI);colormap(gray);%梯度幅值 hold on ;quiver(dx,dy);%疊加梯度方向

         

                         梯度幅值                                   梯度幅值+梯度方向

 

3 二階導數

對於一維函數，其二階導數 ，即 。它的差分函數為

                                                   （3.1）

 

3.1 普拉斯算子（laplacian operator）

3.1.2 概念

拉普拉斯算子是n維歐式空間的一個二階微分算子。它定義為兩個梯度向量算子的內積

                                  （3.2）

其在二維空間上的公式為：                    （3.3)

 

對於1維離散情況，其二階導數變為二階差分

1）首先，其一階差分為

2）因此，二階差分為

           

3）因此，1維拉普拉斯運算可以通過1維卷積核 實現

 

對於2維離散情況（圖像），拉普拉斯算子是2個維上二階差分的和（見式3.3），其公式為：

   （3.4）

上式對應的卷積核為

                       

常用的拉普拉斯核有：

                      

3.1.2 應用

拉普拉斯算子會突出像素值快速變化的區域，因此常用於邊緣檢測。

 

 

Matlab里有兩個函數

1）del2

計算公式： ，  

2）fspecial：圖像處理中一般利用Matlab函數fspecial

h = fspecial('laplacian', alpha) returns a 3-by-3 filter approximating the shape of the two-dimensional Laplacian operator.
The parameter alpha controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default value for alpha is 0.2.

（2）拉普拉斯算子

 

 第一個算子核可以用求導查分的出來的系數，是四鄰域的，第二個暫時還不曉得怎么的出來的，是8鄰域，帶斜面效果比第一個好些！

add！ 后面發現一篇文章解釋了這個推導過程，還是不明白；

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對角線方向也可以加入到離散拉普拉斯變換的定義中.只需在式(3.7.4)中添入兩項，即兩個對角線方向各加一個。每一個新添加項的形式與式(3.7.2)或式(3.7.3)類似，只是其坐標軸的方向沿着對角線方向。由於每個對角線方向上的項還包含一個-2f(x,y)，所以，現在從不同方向的項上減去的總和是-8f(x,y)。執行這一新定義的掩模如圖3.39(b)所示。這種掩模對45^o增幅的結果是各向同性的。圖3.39所示的另外兩個掩模在實踐中也經常使用。這兩個掩模也是以拉普拉斯變換定義為基礎的，只是其中的系數與我們在這里所用到的符號相反而已。正因如此，它們產生等效的結果，但是，當拉普拉斯濾渡后的圖像與其他圖像合並時(相加或相減)，則必須考慮符號上的差別。 

上面的方程式在下面

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6e7e94bc0100o9lr.html

http://www.cnblogs.com/pegasus/archive/2011/05/20/2051780.html

http://www.math.zju.edu.cn/cagd/resources/thesis/MasterThesis_FangHuilan.pdf 網格曲面上離散曲率計算方法的比較與研究 浙江大學數學系的碩士論文，可以挖據資源哦 貌似小豬的畢設就是這個題目

//

（3）拉普拉斯實現

基於模板的：

 /**************************************
********************************
*
* 函數名稱：
*     LapTemplate(int inputH, int 
inputW, int inputX0, int inputY0, float 
*     pTemplate, float fCoef)
*
* 參數：
*     int inputH-模板的高度
*     int inputW-模板的寬度
*     int inputX0-模板的中心元素X坐標
*     int inputY0-模板的中心元素Y坐標
*     float *pTemplate-指向模板數組的指針
*     float f-模板系數
*
* 返回值：
*     void
*
* 說明：
*     該函數用指定的模板（任意大小）來對
圖像進行操作，參數inputH指定模板
*     的高度，參數inputW指定模板的寬度，
參數inputX0和iinputY0指定模板的中心
*     元素坐標，參數pTemplate指定模板元素，f指定系數
*     拉普拉斯銳化
***********************************
***********************************/
void CImgEnhance::LapTemplate(int 
inputH, int inputW, int inputX0, int 
inputY0, float *pTemplate, float f)
{
unsigned char *pSrc, *pDst; 
int  i,j,k,l;
float value;

if(m_pImgDataOut != NULL)
{
delete []m_pImgDataOut;
m_pImgDataOut = NULL;
}
 int lineByte = (m_imgWidth * 
m_nBitCount / 8 + 3) / 4 * 4;

if(m_nBitCount != 8)
{
AfxMessageBox("只能處理8位灰度圖像!");
return ;
}
//創建要復制的圖像區域
m_nBitCountOut = m_nBitCount;
int lineByteOut = (m_imgWidth * 
m_nBitCountOut / 8 + 3) / 4 * 4;
if (!m_pImgDataOut)
{
m_pImgDataOut = new unsigned char
[lineByteOut * m_imgHeight];
}

int pixelByte = m_nBitCountOut / 8;
for(i = 0; i < m_imgHeight; i++){
for(j = 0; j < m_imgWidth * pixelByte; j++)
*(m_pImgDataOut + i * lineByteOut + j)
= *(m_pImgData + i * lineByteOut + j);
}

//行處理
for (i = inputY0; i < m_imgHeight - 
inputH + inputY0 + 1; i++)
{
//列處理
for (j = inputX0; j <m_imgwidth <br="" -="">inputW + inputX0 + 1; j++)
{
//指向新DIB第i行第j列像素的指針
pDst = m_pImgDataOut + lineByte * 
(m_imgHeight -1 - i) + j;

value=0;
//計算
for (k = 0; k < inputH; k++)
{
for (l = 0; l < inputW; l++)
{
pSrc = m_pImgData + lineByte * 
(m_imgHeight - 1 - i + inputY0 - k)+ j - inputX0 + l;
//計算加權平均
value += (*pSrc) * pTemplate[k * inputW + l];
}
}
//乘以系數
value *= f;
//取結果的絕對值
value = (float)fabs(value);
if (value > 255)
{
*pDst = 255; 
}
else
{
*pDst = (unsigned char)(value+0.5);
}
}
}
}

http://book.51cto.com/art/200808/84592.htm c++實現

http://dsqiu.iteye.com/blog/1638589

http://www.xuebuyuan.com/1050504.html

http://blog.csdn.net/jia20003/article/details/16369143