淺談對ST表的一些理解

今天打了人生第一道ST表題(其實只是ST表跑得最快);

ST表是一種用來解決RMQ問題的利器。。。

大體操作有兩步：

第一部分nlogn預處理

第二部分O(1)詢問

 

預處理就是運用倍增+區間動規

ST表使用DP思想求解區間最值，貌似屬於區間動態規划，不過區間在增加時，每次並不是增加一個長度，而是使用倍增的思想，每次增加2^i個長度。

使用F[i,j]表示以i為起點，區間長度為2^j的區間最值，此時區間為[i,i + 2^j - 1]。

比如，F[0,2]表示區間[0,3]的最值，F[2,2]表示區間[2,5]的最值。

在求解F[i,j]時，ST算法是先對長度為2^j的區間[i,i + 2^j - 1]分成兩等份，每份長度均為2^(j - 1)。之后在分別求解這兩個區間的最值F[i,j - 1]和F[i + 2^(j - 1),j - 1]。，最后在結合這兩個區間的最值，求出整個區間的最值。

狀態轉移方程是 F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])

初始狀態為：F[i,0] = A[i]。

代碼如下：

void makeST()
{
  pre[0]=1;for(int i=1;i<=20;i++) pre[i]=pre[i-1]<<1;
  pre2[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++) pre2[i]=pre2[i>>1]+1;
  for(int i=1;i<=n;i++) ST[i][0]=i;
  for(int j=1;j<=20;j++)
    for(int i=1;i<=n;i++){
      if(i+pre[j]-1<=n){
       int x1=ST[i][j-1],x2=ST[i+pre[j-1]][j-1];
       if(a[x1]>a[x2]) ST[i][j]=x1;
       else ST[i][j]=x2;
      }
    }
}

一開始打錯了好多個地方！！！醉了！！！

1.要把20的循環放在外面，手賤打錯了。。。

2.pre2數組是用來支持詢問的。。。相當於是logi,所以是for(1--n);

 

詢問操作：

在預處理期間，每一個狀態對應的區間長度都為2^i。由於給出的待查詢區間長度不一定恰好為2^i，因此我們應對待查詢的區間進行處理。

這里我們把待查詢的區間分成兩個小區間，這兩個小區間滿足兩個條件：（1）這兩個小區間要能覆蓋整個區間（2）為了利用預處理的結果，要求小區間長度相等且都為2^i。注意兩個小區間可能重疊。

在程序計算求解區間長度時，並沒有那么麻煩，我們可以直接得到i，即等於直接對區間長度取以2為底的對數。這里，對於區間[3,11]，其分解的區間長度為int（log(11 - 3 + 1)） = 3，這里log是以2為底的。

根據上述思想，可以把待查詢區間[x，y]分成兩個小區間[x，x + 2^i - 1] 和 [y - 2^i + 1，y] ，其又分別對應着F[x,i]和F[y - 2^i + 1,i]，此時為了求解整個區間的最小值，我們只需求這兩個值得最小值即可，此時復雜度是O(1)。

注意細節要加1。。。

代碼實現如下：

int query(int l,int r)
{
  if(l==r)return l;
  int x=pre2[r-l+1];
  int x1=ST[l][x],x2=ST[r-pre[x]+1][x];
  return a[x1]>a[x2]?x1:x2;
}