藍橋杯 算法提高 求最大值

題意：

給n個有序整數對ai bi，你需要選擇一些整數對 使得所有你選定的數的ai+bi的和最大。並且要求你選定的數對的ai之和非負，bi之和非負。

輸入格式

　　輸入的第一行為n，數對的個數
　　以下n行每行兩個整數 ai bi

輸出格式

　　輸出你選定的數對的ai+bi之和

樣例輸入

5
-403 -625
-847 901
-624 -708
-293 413
886 709

樣例輸出

1715

數據規模和約定

　　1<=n<=100
　　-1000<=ai,bi<=1000

思路：

不直接計算選定的數的ai+bi的和，而是轉化為計算在ai的和一定的情況下盡量使選定的bi的和最大。於是變成為一個和01背包差不多的問題。首先過濾掉所有ai和bi均小於0的數對，令dp[i][j]表示前i個數對，選定的ai的和為j的情況下bi的和的最大值，將dp[i][j]初始化為-INF，再將所有已知合法情況初始化：dp[i][a[i]] = b[i]，之后dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j])，若j - a[i]存在，dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - a[i]] + b[i])。為避免負數作為數組下標，要加一個偏移量。

實現：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int t = 100000;
int a[105], b[105], dp[105][200005], n, p, q;
int solve(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = -t; j <= t; j++)
        {
            dp[i][j + t] = -INF;
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
        dp[i][a[i] + t] = b[i];
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        for (int j = -t; j <= t; j++)
        {
            dp[i][j + t] = max(dp[i - 1][j + t], dp[i][j + t]);
            if (j + t - a[i] < 0 || j + t - a[i] > 200000)
                continue;
            dp[i][j + t] = max(dp[i][j + t], dp[i - 1][j + t - a[i]] + b[i]);
        }
    }
    int ans = -INF;
    for (int j = 0; j <= t; j++)
    {
        ans = max(ans, dp[n - 1][j + t] >= 0 ? j + dp[n - 1][j + t] : -INF);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    cin >> n;
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> p >> q;
        if (p < 0 && q < 0)
            continue;
        a[cnt] = p;
        b[cnt++] = q;
    }
    int ans = solve(cnt);
    if (ans <= -INF)
        cout << "0" << endl;
    else
        cout << ans << endl;
    return 0;
}