最長不降子序列
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一．問題描述
設有由n個不相同的整數組成的數列，記為:
a(1)、a(2)、……、a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j)
例如3，18，7，14，10，12，23，41，16，24。
若存在i1<i2<i3< … < ie 且有a(i1)<a(i2)< …
<a(ie)則稱為長度為e的不下降序列。如上例中3，18，23，24就是一個長度為4的不下降序列，同時也有3，7，10，12，16，24長度為6的不下降序列。程序要求，當原數列給出之后，求出最長的不下降序列。
二．算法分析
（一）。根據動態規划的原理，由后往前進行搜索。
1·對a(n)來說，由於它是最后一個數，所以當從a(n)開始查找時，只存在長度為1的不下降序列；
2·若從a(n-1)開始查找，則存在下面的兩種可能性：
①若a(n-1)<a(n)則存在長度為2的不下降序列a(n-1)，a(n)。
②若a(n-1)>a(n)則存在長度為1的不下降序列a(n-1)或a(n)。
3·一般若從a(i)開始，此時最長不下降序列應該按下列方法求出:
在a(i+1),a(i+2),…,a(n)中，找出一個比a(i)大的且最長的不下降序列，作為它的后繼。倒推公式為
F（I）=MAX{F（I+K）}+1
F[I]：表示以第I個位置為起點的最長不下降序列的長度。
K的選擇范圍：a(I+k)>a(i) I+k≦n
最后從F[1]到F[N]中選取最大的即為最優解
當然也可以采用順推的方法，順推公式為
F（I）=MAX{F（I-K）}+1
F[I]：表示以第I個位置為終點的最長不下降序列的長度。
K的選擇范圍：a(I-k)<a(i) I-k≧1
最后從F[1]到F[N]中選取最大的即為最優解
4·為算法上的需要，定義一個數組（倒推法）
整數類型二維數組d（N，3）
d（I，1）表示點a（i）
d（I，2）表示從I位置到達N的最長不下降序列長度
d（I，3）表示從I位置開始最長不下降序列的下一個數字的位置，以便打印。
初始化:
FOR I = 1 TO N
INPUT #1, D(I, 1)
D(I, 2) = 1
D(I, 3) = 0
NEXT I
A.O(n^2)算法分析如下：
（a[1]...a[n] 存的都是輸入的數） 1、對於a[n]來說，由於它是最后一個數，所以當從a[n]開始查找時，只存在長度為1的不下降子序列； 2、若從a[n-1]開始查找，則存在下面的兩種可能性： （1）若a[n-1] < a[n] 則存在長度為2的不下降子序列 a[n-1],a[n]; （2）若a[n-1] > a[n] 則存在長度為1的不下降子序列 a[n-1]或者a[n]。 3、一般若從a[t]開始，此時最長不下降子序列應該是按下列方法求出的： 在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一個比a[t]大的且最長的不下降子序列，作為它的后繼。 4、為算法上的需要，定義一個數組： int d[n][3]; d[t][0]表示a[t]; d[t][1]表示從i位置到達n的最長不下降子序列的長度; d[t][2]表示從i位置開始最長不下降子序列的下一個位置。 實現代碼如下：
#include <iostream>
using namespace std;
int main(void) { int i,j,n,a[100],b[100],max; while(cin>>n) { for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i]; b[0]=1;//初始化，以a[0]結尾的最長遞增子序列長度為1 for(i=1;i<n;i++) { b[i]=1;//b[i]最小值為1 for(j=0;j<i;j++) if(a[i]>a[j]&&b[j]+1>b[i]) b[i]=b[j]+1; } for(max=i=0;i<n;i++)//求出整個數列的最長遞增子序列的長度 if(b[i]>max) max=b[i]; cout<<max<<endl; } return 0 }
顯然，這種方法的時間復雜度仍為o(n^2) =1 + 2 + ...+n;
B.最長不下降子序列的O(n*logn)算法分析如下：
設 A[t]表示序列中的第t個數，F[t]表示從1到t這一段中以t結尾的最長上升子序列的長度，初始時設F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。則有動態規划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。
現在，我們仔細考慮計算F[t]時的情況。假設有兩個元素A[x]和A[y]，滿足 (1)x < y < t (2)A[x] < A[y] < A[t] (3)F[x] = F[y] 此時，選擇F[x]和選擇F[y]都可以得到同樣的F[t]值，那么，在最長上升子序列的這個位置中，應該選擇A[x]還是應該選擇A[y]呢？ 很明顯，選擇A[x]比選擇A[y]要好。因為由於條件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]這一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，則與選擇A[y]相比，將會得到更長的上升子序列。 再根據條件(3)，我們會得到一個啟示：根據F[]的值進行分類。對於F[]的每一個取值k，我們只需要保留滿足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。設D[k]記錄這個值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。
注意到D[]的兩個特點： (1) D[k]的值是在整個計算過程中是單調不上升的。 (2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利用D[]，我們可以得到另外一種計算最長上升子序列長度的方法。設當前已經求出的最長上升子序列長度為len。先判斷A[t]與D[len]。若A [t] > D[len]，則將A[t]接在D[len]后將得到一個更長的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A [t]；否則，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，滿足D[j] < A[t]。令k = j + 1，則有A [t] <= D[k]，將A[t]接在D[j]后將得到一個更長的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即為所要求的最長上 升子序列的長度。
在上述算法中，若使用朴素的順序查找在D[1]..D[len]查找，由於共有O(n)個元素需要計算，每次計算時的復雜度是O(n)，則整個算法的 時間復雜度為O(n^2)，與原來的算法相比沒有任何進步。但是由於D[]的特點(2)，我們在D[]中查找時，可以使用二分查找高效地完成，則整個算法 的時間復雜度下降為O(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，D[]在算法結束后記錄的並不是一個符合題意的最長上升子序列！
#include <iostream>
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//若返回值為x,則a[x]>=n>a[x-1]
{ int left=0,right=len,mid=(left+right)/2; while(left<=right) { if(n>a[mid]) left=mid+1; else if(n<a[mid]) right=mid-1; else return mid; mid=(left+right)/2; } return left; } void fill(int *a,int n) { for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=1000; } int main(void) { int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100]; while(cin>>n) { fill(c,n+1); for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i]; c[0]=-1;// …………………………………………1 c[1]=a[0];// ……………………………………2 b[0]=1;// …………………………………………3 for(i=1;i<n;i++)// ………………………………4 { j=find(c,n+1,a[i]);// ……………………5 c[j]=a[i];// ………………………………6 b[i]=j;//……………………………………7 } for(max=i=0;i<n;i++)//………………………………8 if(b[i]>max) max=b[i]; cout<<max<<endl; } return 0; }
對於這段程序，我們可以用算法導論上的loop invariants來幫助理解. loop invariant:
1、每次循環結束后c都是單調遞增的。(這一性質決定了可以用二分查找）
2、每次循環后，c[i]總是保存長度為i的遞增子序列的最末的元素，若長度為i的遞增子序列有多個，剛保存末尾元素最小的那個.（這一性質決定是第3條性質成立的前提）
3、每次循環完后，b[i]總是保存以a[i]結尾的最長遞增子序列。 initialization:
1、進入循環之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均為1000,c是單調遞增的;
2、進入循環之前，c[1]=a[0],保存了長度為1時的遞增序列的最末的元素，且此時長度為1的遞增了序列只有一個，c[1]也是最小的; 3、進入循環之前，b[0]=1，此時以a[0]結尾的最長遞增子序列的長度為1. maintenance:
1、若在第n次循環之前c是單調遞增的，則第n次循環時，c的值只在第6行發生變化，而由c進入循環前單調遞增及find函數的性質可知（見find的注釋),此時c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新為a[i]后，c[j+1]>c[j]>c[j-1]的性質仍然成立，即c仍然是單調遞增的；
2、循環中，c的值只在第6行發生變化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新為a[i]后，c[j]的值只會變小不會變大，因為進入循環前c[j]的值是最小的，則循環中把c[j]更新為更小的a[i]，當然此時c[j]的值仍是最小的;
3、循環中，b[i]的值在第7行發生了變化，因為有loop invariant的性質2，find函數返回值為j有：c[j-1]<a[i]<=c[j],這說明c[j-1]是小於a[i]的，且以c[j-1]結尾的遞增子序列有最大的長度，即為j-1,把a[i]接在c[j-1]后可得到以a[i]結尾的最長遞增子序列，長度為(j-1)+1=j; termination: 循環完后，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]結尾的最長遞增子序列的長度均已求出，再通過第8行的循環，即求出了整個數組的最長遞增子序列。
仔細分析上面的代碼可以發現，每次循環結束后，假設已經求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，則此時最長遞增子序列的長度為len,因此可以把上面的代碼更加簡化，即可以不需要數組b來輔助存儲，第8行的循環也可以省略。
#include <iostream>
using namespace std;
int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找，若返回值為x，則a[x]>=n
{ int left=0,right=len,mid=(left+right)/2; while(left<=right) { if(n>a[mid]) left=mid+1; else if(n<a[mid]) right=mid-1; else return mid; mid=(left+right)/2; } return left; } int main(void) { int n,a[100],b[100],c[100],i,j,len;//新開一變量len,用來儲存每次循環結束后c中已經求出值的元素的最大下標 while(cin>>n) { for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i]; b[0]=1; c[0]=-1; c[1]=a[0]; len=1;//此時只有c[1]求出來，最長遞增子序列的長度為1. for(i=1;i<n;i++) { j=find(c,len,a[i]); c[j]=a[i]; if(j>len)//要更新len,另外補充一點：由二分查找可知j只可能比len大1 len=j;//更新len } cout<<len<<endl; } return 0; }
比較一點的實現：
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std; const int N = 1001; int a[N], C[N], f[N]; // f[i]用於記錄a[0最長不降子序列i]的最大長度 int bsearch(const int *C, int size, const int &a) { int l=0, r=size-1; while( l <= r ) { int mid = (l+r)/2; if( a > C[mid-1] && a <= C[mid] ) return mid; // >&&<= 換為: >= && < else if( a < C[mid] ) r = mid-1; else l = mid+1; } } int LIS(const int *a, const int &n) { int i, j, size = 1; C[0] = a[0]; f[0] = 1; for( i=1; i < n; ++i ) { if( a[i] <= C[0] ) j = 0; // <= 換為: < else if( a[i] >C[size-1] ) j = size++; // > 換為: >= else j = bsearch(C, size, a[i]); C[j] = a[i]; f[i] = j+1; } return size; } int main(void) { int data[32]; int n; while(cin>>n) { for(int i=0;i<n;i++) cin>>data[i]; cout<<LIS(data,n)<<endl; } return 0; }