UOJ263 【NOIP2016】組合數問題

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本文作者：ljh2000
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題目描述

組合數 CmnCnm 表示的是從 nn 個物品中選出 mm 個物品的方案數。舉個例子，從 (1,2,3)(1,2,3) 三個物品中選擇兩個物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3) 這三種選擇方法。根據組合數的定義，我們可以給出計算組合數 CmnCnm 的一般公式：

 

Cmn=n!m!(n−m)!Cnm=n!m!(n−m)!

 

其中 n!=1×2×⋯×nn!=1×2×⋯×n；特別地，定義 0!=10!=1。

小蔥想知道如果給定 n,mn,m 和 kk，對於所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少對 (i,j)(i,j) 滿足 CjiCij 是 kk 的倍數。

輸入格式

從標准輸入讀入數據。

第一行有兩個整數 t,kt,k，其中 tt 代表該測試點總共有多少組測試數據，kk 的意義見問題描述。

接下來 tt 行每行兩個整數 n,mn,m，其中 n,mn,m 的意義見問題描述。

輸出格式

輸出到標准輸出。

tt 行，每行一個整數代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少對 (i,j)(i,j) 滿足 CjiCij 是 kk 的倍數。

樣例一

input

1 2
3 3

output

1

explanation

在所有可能的情況中，只有 C12=2C21=2 是 22的倍數。

樣例二

input

2 5
4 5
6 7

output

0
7


正解：矩陣前綴和+組合數學
解題報告：
　　

　　這是一道很簡單的數學題，可以發現其實如果根據組合中的一個基本公式：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1),就可以直接遞推出2000以內的所有的組合數。而我們只需要判斷有多少個點對滿足是k的倍數，很容易想到只要對k取模，對於為0的C(i,j)是肯定滿足是k的倍數的。

　　因為k是所有詢問共用的，可以一開始就預處理出矩陣前綴和，之后每次O(1)查詢就可以了。

 

注意事項：

　　很多人在考場上寫的是質因數分解，但是很明顯有一些k並不是質數，所以並不能直接分解，應該先對k進行質因數分解，在對於這些質因數在遞推中分析。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 2011;
int T,k,n,m,ans;
int C[MAXN][MAXN],a[MAXN][MAXN];
int sum[MAXN][MAXN];

void work(){
    scanf("%d%d",&T,&k);
    C[1][0]=C[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=2000;i++){
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++) {
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];            
            C[i][j]%=k;
            if(C[i][j]==0) {
                a[i][j]=1;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=2000;i++)
        for(int j=1;j<=2000;j++)
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];

    while(T--) {
        scanf("%d%d",&n,&m); m=min(m,n);
        printf("%d\n",sum[n][m]);
    }
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}