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本文作者：ljh2000
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題目描述
Kiana 最近沉迷於一款神奇的游戲無法自拔。
簡單來說，這款游戲是在一個平面上進行的。
有一架彈弓位於 (0,0)(0,0) 處，每次 Kiana 可以用它向第一象限發射一只紅色的小鳥，小鳥們的飛行軌跡均為形如 y=ax2+bxy=ax2+bx 的曲線，其中 a,ba,b 是 Kiana 指定的參數，且必須滿足 a<0a<0，a,ba,b 都是實數。
當小鳥落回地面（即 xx 軸）時，它就會瞬間消失。
在游戲的某個關卡里，平面的第一象限中有 nn 只綠色的小豬，其中第 ii 只小豬所在的坐標為 (xi,yi)(xi,yi)。
如果某只小鳥的飛行軌跡經過了 (xi,yi)(xi,yi)，那么第 ii 只小豬就會被消滅掉，同時小鳥將會沿着原先的軌跡繼續飛行；
如果一只小鳥的飛行軌跡沒有經過 (xi,yi)(xi,yi)，那么這只小鳥飛行的全過程就不會對第 ii 只小豬產生任何影響。
例如，若兩只小豬分別位於 (1,3)(1,3) 和 (3,3)(3,3)，Kiana 可以選擇發射一只飛行軌跡為 y=−x2+4xy=−x2+4x 的小鳥，這樣兩只小豬就會被這只小鳥一起消滅。
而這個游戲的目的，就是通過發射小鳥消滅所有的小豬。
這款神奇游戲的每個關卡對 Kiana 來說都很難，所以 Kiana 還輸入了一些神秘的指令，使得自己能更輕松地完成這個游戲。這些指令將在【輸入格式】中詳述。
假設這款游戲一共有 TT 個關卡，現在 Kiana 想知道，對於每一個關卡，至少需要發射多少只小鳥才能消滅所有的小豬。由於她不會算，所以希望由你告訴她。
輸入
從標准輸入讀入數據。
第一行包含一個正整數 TT，表示游戲的關卡總數。
下面依次輸入這 TT 個關卡的信息。每個關卡第一行包含兩個非負整數 n,mn,m，分別表示該關卡中的小豬數量和 Kiana 輸入的神秘指令類型。接下來的 nn 行中，第 ii 行包含兩個正實數 xi,yixi,yi，表示第 ii 只小豬坐標為 (xi,yi)(xi,yi)。數據保證同一個關卡中不存在兩只坐標完全相同的小豬。
如果 m=0m=0，表示 Kiana 輸入了一個沒有任何作用的指令。
如果 m=1m=1，則這個關卡將會滿足：至多用 ⌈n/3+1⌉⌈n/3+1⌉ 只小鳥即可消滅所有小豬。
如果 m=2m=2，則這個關卡將會滿足：一定存在一種最優解，其中有一只小鳥消滅了至少 ⌊n/3⌋⌊n/3⌋ 只小豬。
保證 1≤n≤181≤n≤18，0≤m≤20≤m≤2，0<xi,yi<100<xi,yi<10，輸入中的實數均保留到小數點后兩位。
上文中，符號 ⌈c⌉⌈c⌉ 和 ⌊c⌋⌊c⌋ 分別表示對 cc 向上取整和向下取整，例如：⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。
輸出
輸出到標准輸出。
對每個關卡依次輸出一行答案。
輸出的每一行包含一個正整數，表示相應的關卡中，消滅所有小豬最少需要的小鳥數量。
樣例一
input
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
output
1
1
explanation
這組數據中一共有兩個關卡。
第一個關卡與問題描述中的情形相同，22 只小豬分別位於 (1.00,3.00)(1.00,3.00) 和 (3.00,3.00)(3.00,3.00)，只需發射一只飛行軌跡為 y=−x2+4xy=−x2+4x 的小鳥即可消滅它們。
第二個關卡中有 55 只小豬，但經過觀察我們可以發現它們的坐標都在拋物線 y=−x2+6xy=−x2+6x 上，故 Kiana 只需要發射一只小鳥即可消滅所有小豬。
樣例二
input
3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00
output
2
2
3
樣例三
input
1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99
output
6
正解：搜索 or 狀壓DP or 記憶化搜索
解題報告：
算法一
我在考場上看到數據范圍之后，就明顯看出這是一道搜索題。而且n<=18，應該搜索+強力剪枝可以過。於是我就打了個爆搜。
具體實現就是：對於每個點，我分類討論兩種情況：自己新建一條拋物線，或者和之前的某一個點組合形成一條完整的拋物線。因為拋物線的式子只有2個變量，所以我們只需要2個點就可以確定這一條拋物線。搜索的時候，保存之前的每個點的狀態，一個是已經由2個或以上的點形成的拋物線的a、b值，這樣可以一開始就計算是不是已經被之前形成的拋物線經過了，如果經過了則可以直接搜下一個點。另外，還需要保存之前有哪些點尚未完成“配對”，即之前確定為是新建了一條拋物線之后，因為只有一個點不能確定拋物線的解析式，所以尚未完成“配對”。我們考慮當前點和之前沒有“配對”的點一一組合形成新的拋物線，再往下搜索。值得注意的是，根據題意拋物線的解析式中的a一定<0，所以並不是算出來的解析式一定可行。通過兩個點算解析式的具體算法不贅述了，這屬於初中的二次函數數學題了。
這個算法當然可以套上最優性剪枝，可以避免大量不必要的搜索。題目中給的m也可以用於剪枝（初值的設定）。
因為最優性剪枝事實上可以減去大量無用狀態，所以這個搜索是可以通過n<=18的所有數據的。
算法二
對於算法一的改進：記憶化搜索，常見優化，不贅述了。
算法三
仔細思考可以發現，這個題目應該是可以狀壓DP的。
f[s]表示被覆蓋的狀態為s的最少小鳥數，然后預處理一個g[i][j]表示選擇了i和j之后的拋物線經過的小鳥的狀態集合（是一個01狀態），
容易得出：
f[s|g[i][j]]=min(f[s|g[i][j]],f[s]+1)
狀壓DP的經典做法。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cmath> 4 #include <cstring> 5 #include <algorithm> 6 #include <string> 7 #include <ctime> 8 #include <queue> 9 #include <vector> 10 #include <cstdlib> 11 using namespace std; 12 typedef long long LL; 13 const int MAXN = 45; 14 const double eps = 1e-10; 15 int T,n,m,ans,dui[MAXN]; 16 bool vis[MAXN]; 17 double dd[MAXN][2]; 18 double hehe,lim; 19 bool ok; 20 struct node{ double x,y; }a[MAXN]; 21 inline bool cmp(node q,node qq){ if(q.x==qq.x) return q.y<qq.y; return q.x<qq.x; } 22 inline double ABS(double x){ if(x<0) return -x; return x; } 23 inline void dfs(int x,int num1,int num2,int use){ 24 if(x==n+1) { if(use<ans) ans=use; return ;} 25 double nowy; if(use>=ans) return ; 26 for(int i=1;i<=num2;i++) { 27 nowy=a[x].x*a[x].x*dd[i][0]+dd[i][1]*a[x].x; 28 if(ABS(nowy-a[x].y)<=eps) { dfs(x+1,num1,num2,use); return ; } 29 } 30 int now; double nowx,nowz; int nex=num2+1; 31 for(int i=1;i<=num1;i++) { 32 if(vis[i]) continue; now=dui[i]; if(a[now].x==a[x].x) continue; 33 nowx=a[now].x*a[now].x-a[now].x*a[x].x; nowz=a[now].y-a[x].y*a[now].x/a[x].x; 34 dd[nex][0]=nowz/nowx; if(dd[nex][0]>=-eps) continue; 35 dd[nex][1]=(a[now].y-dd[nex][0]*a[now].x*a[now].x)/a[now].x; 36 vis[i]=1; dfs(x+1,num1,nex,use); 37 vis[i]=0; 38 } 39 40 dui[num1+1]=x; vis[num1+1]=0; 41 dfs(x+1,num1+1,num2,use+1); 42 } 43 44 inline void work(){ 45 scanf("%d",&T); 46 while(T--) { 47 scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y); sort(a+1,a+n+1,cmp); 48 memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(dd,0,sizeof(dd)); memset(dui,0,sizeof(dui)); 49 dui[1]=1; if(m!=1) ans=n; else { ans=n/3; if(n%3!=0) ans++; ans++; } 50 dfs(2,1,0,1); printf("%d\n",ans); 51 } 52 } 53 54 int main() 55 { 56 work(); 57 return 0; 58 }