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第1章點位精度評定
1.1 簡介
下圖顯示了一系列的散點。點位精度評定就是計算一些數值，用來評定這些點的離散程度。精度評定數值越小說明點的離散程度越小，精度越高。
1.2 期望
上圖的圓心和橢圓中心，是散點的真實位置。假定其坐標為
，那么
就是隨機變量
的期望，
就是隨機變量
的期望。
期望的數值，有可能是已知的，也可能是未知的。在未知的情況下，需要對期望進行估值。一般情況下，期望的估值采用的是算術平均值，即：
1.3 方差
方差用來描述隨機變量的離散程度，它的數值越小說明離散度越低。
隨機變量
的方差： 
隨機變量
的方差： 
注意：如果隨機變量
的期望
使用的是估計值
，則方差的估值為
。把
改成
的原因在於：求出
后，
的自由度由
變成了
。
1.4 標准差
標准差也叫中誤差，它是方差的平方根，即：
隨機變量
的標准差： 
或 
隨機變量
的標准差： 
或 
1.5 協方差
隨機變量
、
之間的協方差：
同樣的，如果期望
和
使用的是估計值，則
按下式計算
1.6 DRMS
離散隨機變量
的均方根RMS（Root Mean Square）為：
點位誤差里的RMS其實是距離均方根差（DRMS），即：
將
代入上式，可得
1.7 2DRMS
雙倍距離均方根
的計算公式如下：
1.8 CEP
圓概率誤差CEP（Circular Error Probable）的含義：以
為圓心，CEP為半徑畫一個圓，點落入圓內的概率為50%。其計算公式如下：
1.9 CEP95
CEP95（也被稱之為R95）的含義：以
為圓心，CEP95為半徑畫一個圓，點落入圓內的概率為95%。其計算公式如下：
1.10 CEP99
CEP99的含義：以
為圓心，CEP99為半徑畫一個圓，點落入圓內的概率為99%。其計算公式如下：
1.11 對比
CEP、CEP95、CEP99之間是有嚴格的比例關系的；DRMS、2DRMS之間也是有嚴格的比例關系的；那么CEP與DRMS有什么關系呢？
假定
，則：
，
。此時
。
換句話說就是CEP與DRMS之間有着近似的轉換公式：
這幾個統計量從小到大依次為：CEP、DRMS、CEP95、2DRMS、CEP99。
以
為圓心，各個統計量為半徑，點落入這個圓的概率見下表：
| 統計量 |
概率 |
| CEP |
50% |
| DRMS |
63%~68% |
| CEP95 |
95% |
| 2DRMS |
95%~98% |
| CEP99 |
99% |
1.12 SEP
SEP的含義：以
為球心，SEP為半徑畫一個圓球，點落入球內的概率為50%。其計算公式如下：
1.13 誤差橢圓
在二維平面內，點位沿着任意方向
的方差按下式計算：
化簡后可得：
上式中
注意：
表示原點到
的方位角。
當
時（
）
取最大值
；
當
時（
）
取最小值
。
這里
就是誤差橢圓的長半軸，
就是誤差橢圓的短半軸，
是長半軸的方位角。
1.14 置信橢圓
長半軸為
、短半軸為
的橢圓被稱之為標准誤差橢圓。置信橢圓是標准誤差橢圓的
倍。
點落入置信橢圓內的概率為
將
代入上式可求出點落入標准誤差橢圓內的概率為39.35%。也就是說置信度39.35%的置信橢圓就是標准誤差橢圓。
1.15 誤差橢球
在三維空間，點位沿着任意方向
的方差按下式計算：
上式中的
是隨機變量
的方差、協方差矩陣。
注意方向
是單位向量，即滿足
現在的問題是：
何時最大？何時最小？它的實質就是在滿足
的條件下，求出
的極值。
可根據拉格朗日乘數法求極值，其步驟為：
構造拉格朗日函數
，然后求解如下方程組：
記
（即一個數對一個列向量求導），則
。根據上式可知
取極值時
。
滿足
的
是矩陣
的特征值，而
是與
對應的特征向量。
表示需要將特征向量單位化。
求出矩陣
的特征值和特征向量后，矩陣
可被對角化，即：
上式中
是由特征值組成的對角陣，即
。
矩陣
的第
列是
對應的單位特征向量。此時：
記
，它的幾何意義為：對向量
做正交變換，得到向量
，此時：
這里
就是誤差橢球的三個半軸，從大到小依次為長半軸、中半軸、短半軸。這三個半軸的方向就是特征向量的方向，它們是相互垂直的。
以橢球的三個半軸分別為
軸建立一個新的三維直角坐標系
，坐標系
到
的正交變換矩陣就是
。
1.16 求解誤差橢球
本節將求解矩陣
的特征值、特征向量
注意上式中：
展開后可以得到一個一元三次方程：
，其中
可以去除這個一元三次方程的二次項，如下式所示：
其中
一元三次方程的三個根為：
上式中
這三個根就是矩陣
的特征值。因為
是正定的，所以這三個特征值必定都是大於零的實數。
下面是矩陣
的伴隨矩陣：
將
代入上式，每一列就是
對應的一個特征向量，請選用長度最大的特征向量並將其單位化。
注意：按上述方法求出的特征向量有可能為零，此時至少有兩個特征值是相等的。換句話說就是上述求解特征向量的算法要求三個特征值均不相等。
1.17 置信橢球
三個半軸為
的橢球是標准誤差橢球，置信橢圓是標准誤差橢圓的
倍。
點落入置信橢球內的概率為
將
代入上式可求出點落入標准誤差橢球內的概率為19.87%。也就是說置信度19.87%的置信橢球就是標准誤差橢球。