壓位高精度的寫法

// 2020/06/10 修正 HTML 代碼

壓位高精度的寫法

　　之前有單位高精度算法，那么有沒有可以加速、節省空間的做法呢？

　　有！

　　以前，存數字數組里面只存着一個數字，所以加減都是一位一位地加，進位也是一位一位地實現。

　　所以，我們嘗試着將數字序列從一位變成多位。

　　比如高精度加法：

　　如果壓兩位，我們就兩位兩位地存數字，運算時依然可以正常相加，但是相加的次數減半了；

　　進位時，只需要將進位的數字除以 $10^2$，加到下一位就可以了。

　　所以，如果我們壓八位（保證 LL 存的下的情況），那么時空復雜度的常數是 $\frac{1}{8}$。

　　如，計算：$13134987124987+192837918479$。

　　傳統做法：

　　Step 1: 分離數位

  1  3  1  3  4  9  8  7  1  2  4  9  8  7
+       1  9  2  8  3  7  9  1  8  4  7  9

 

　　Step 2: 每位相加

  1  3  1  3  4  9  8  7  1  2  4  9  8  7
+       1  9  2  8  3  7  9  1  8  4  7  9
————————————————————————————————————————————
  1  3  2 12  8 17 11 14 10  3 12 13 15 16

 

　　Step 3: 進位

  1  3  1  3  4  9  8  7  1  2  4  9  8  7
+       1  9  2  8  3  7  9  1  8  4  7  9
————————————————————————————————————————————
  1  3  3  2  7  8  2  5  0  4  3  4  6  6

　　所以答案為 $13327825043466$。

 

　　壓位做法（壓 $4$ 位）：

　　Step 1: 分離數位

   13    1349     8712    4987
+        1928     3791    8479

 

　　Step 2: 相加

   13    1349     8712    4987
+        1928     3791    8479
————————————————————————————————
   13    3277    12503   13466

 

　　Step 3: 進位

   13    1349     8712    4987
+        1928     3791    8479
————————————————————————————————
   13    3278     2504    3466

 

　　所以答案為 $13327825043466$，和上面答案一樣

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排坑

　　我們發現，有些數位進位之后會發生一些意想不到的結果：

　　例子：1598 + 9144

　　我們如果壓 4 位，結果是：

      1598
+     9144
————————————————
   1  0472

　　但是，這個 0472 如果直接輸出，是 472，於是就 WA 了。

　　所以可以這么寫：

printf("%.4d", a);

　　這句話的作用是如果 a 不到 4 位就把不到的位用 0 填充后輸出。

　　但是，又有一個坑：

　　最高位所在的那段不能用 $0$ 填充 。

　　所以比較好的做法，是先輸出第一個數，再按照如上填充方式輸出。

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　　壓位高精度在乘法等復雜度較高的運算會有很大用處。