兩輪自平衡小車的研究意義
1.1兩輪平衡車的研究意義
兩輪平衡車是一種能夠感知環境,並且能夠進行分析判斷然后進行行為控制的多功能的系統,是移動機器人的一種。在運動控制領域中,為了研究控制算法,建立兩輪平衡車去驗證控制算法也是非常有用的,這使得在研究自動控制領域理論時,兩輪平衡車也被作為課題,被廣泛研究。對於兩輪平衡車模型的建立、分析以及控制算法的研究是課題的研究重點和難點。設計的兩輪平衡車實現前進、后退、轉彎等功能是系統研究的目的,之后要對車子是否能夠爬坡、越野等功能進行測試。一個高度不穩定,其動力學模型呈現多變量、系統參數耦合、時變、不確定的非線性是兩輪平衡車兩輪車研究內容的難點,其運動學中的非完整性約束要求其控制任務的多重性,也就是說要在平衡狀態下完成指定的控制任務,如在復雜路況環境下實現移動跟蹤任務,這給系統設計帶來了極大的挑戰。因此可以說兩路平衡車是一個相對比較復雜的控制系統,這給控制方法提出了很高的要求,對控制理論方法提出來很大的挑戰,是控制方法實現的典型平台,得到該領域專家的極大重視,成為具有挑戰性的控制領域的課題之一。
兩輪平衡車是一個復雜系統的實驗裝置,其控制算法復雜、參數變化大,是理論研究、實驗仿真的理想平台。在平衡車系統中進行解賴控制、不確定系統控制、自適應控制、非線性系統控制等控制方法的研究,具有物理意義明顯、方便觀察的特點,並且平衡車從造價來說不是很貴,占地面積小,是很好的實驗工具，另外建立在此基礎上的平衡系統的研究,能夠適應復雜環境的導航、巡視等,在工業生產和社會生中具有非常大的應用潛力。
兩輪平衡車所使用的控制方法主要有:狀態回饋控制、PID控制、最優控制、極點回饋控制等,這些控制方法被稱為傳統控制方法。
1.2 本文研究內容
（1）兩輪自平衡小車的簡單控制系統設計。
（2）基於倒立擺模型的兩輪自平衡小車的數學建模。
（3）利用MATLAB工具進行兩輪自平衡小車的系統控制方法分析。
兩輪自平衡小車的控制系統設計
這一章將着重描述兩輪自平衡小車的工作原理，部分說明了小車的控制系統組成。
2.1 兩輪自平衡小車的基本原理
兩輪自平衡小車的架構與倒立擺相似，其運動圖如圖1所示，以電機軸線為中心轉動。
圖1 小車傾斜示意圖
未做控制時，車身前傾或者后傾時左右輪都是處於靜止狀態，也就是說車身的前后擺動與車輪的轉動是相互獨立的。而當開始控制時，小車開始時豎直的，
釋放后小車將有三種運動方式，只有正確的控制小車才能保持平衡。這三種運動
方式和控制描述如下：
(1)靜止：當車身的重心在電機軸心線上方時小車是靜止且平衡的狀態，不需
任何控制。
(2)前傾：當車身的重心靠前時車身會向前傾，那么需要驅動電機使車輪向前
由此，控制兩輪自平衡小車是通過測量可得車身與豎直方向的角度與角速度，改變電機方向以及其控制力(力矩，電壓)的大小以維持小車的自身動態平衡。
滾動，才能保持平衡狀態。
(3)后退：當車身的重心靠后時車身會向后傾，那么需要驅動電機使車輪向后
滾動，才能保持平衡狀態。
由此，控制兩輪自平衡小車是通過測量可得車身與豎直方向的角度與角速度，改變電機方向以及其控制力(力矩，電壓)的大小以維持小車的自身動態平衡。
2.2 兩輪自平衡小車的控制系統設計
對於兩輪自平衡小車的分析，其控制系統可分為三大部分：
(1) 傾角傳感器用於采集小車的運動狀態信息。
(2) 控制器用以處理之前傳感器采集到的信息，經過計算輸出信號以控制電
機。
(3) 執行機構是伺服電機用以控制小車。
兩輪自平衡小車使用傾角傳感器來取得小車的的狀態，其機械結構中的兩個
車輪由帶編碼器的直流電機來驅動，通過控制單元按一定控制算法來控制小車的前進和后退，從而完成控制的目的。其控制原理框圖如圖2所示。
倒立擺系統的模型
3.1 倒立擺系統簡介
因為兩輪自平衡小車的原理等價於以及倒立擺，所以我們這里的數學模型是和一級倒立擺基本差不多的。
倒立擺是機器人技術、控制理論、計算機控制等多個領域、多種技術的有機 結合，其被控系統本身又是一個絕對不穩定、高階次、多變量、強耦合的非線性 系統，可以作為一個典型的控制對象對其進行研究。最初研究開始於二十世紀 50 年代，麻省理工學院（ MIT）的控制論專家根據火箭發射助推器原理設計出一級倒立擺實驗設備。近年來，新的控制方法不斷出現，人們試圖通過倒立擺這樣一個典型的控制對象，檢驗新的控制方法是否有較強的處理多變量、非線性和絕對不穩定系統的能力，從而從中找出最優秀的控制方法。倒立擺系統作為控制理論研究中的一種比較理想的實驗手段，為自動控制理論的教學、實驗和科研構建一個良好的實驗平台，以用來檢驗某種控制理論或方法的典型方案，促進了控制系統新理論、新思想的發展。由於控制理論的廣泛應用，由此系統研究產生的方法和技術將在半導體及精密儀器加工、機器人控制技術、人工智能、導彈攔截控制系統、航空對接控制技術、火箭發射中的垂直度控制、衛星飛行中的姿態控制和一般工業應用等方面具有廣闊的利用開發前景。平面倒立擺可以比較真實的模 擬火箭的飛行控制和步行機器人的穩定控制等方面的研究。
3.2 倒立擺分類
倒立擺已經由原來的直線一級倒立擺擴展出很多種類，典型的有直線倒立 擺，環形倒立擺，平面倒立擺和復合倒立擺等，倒立擺系統是在運動模塊上裝有 倒立擺裝置，由於在相同的運動模塊上可以裝載不同的倒立擺裝置，倒立擺的種 類由此而豐富很多，按倒立擺的結構來分，有以下類型的倒立擺：
1) 直線倒立擺系列
直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導軌水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在於，柔性倒立擺有兩個可以沿導軌滑動的小車，並且在主動小車和從動小車之間增加了一個彈簧，作為柔性關節。
2) 環形倒立擺系列 環形倒立擺是在圓周運動模塊上裝有擺體組件，圓周運動模塊有一個自由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運動，在運動手臂末端裝有擺體組件，根據擺體組件的級數和串連或並聯的方式，可以組成很多形式的倒立擺。
3) 平面倒立擺系列
平面倒立擺是在可以做平面運動的運動模塊上裝有擺桿組件，平面運動 模塊主要有兩類：一類是 XY 運動平台，另一類是兩自由度 SCARA 機械臂；擺體組件也有一級、二級、三級和四級很多種。
4) 復合倒立擺系列
復合倒立擺為一類新型倒立擺，由運動本體和擺桿組件組成，其運動本 體可以很方便的調整成三種模式，一是 2)中所述的環形倒立擺，還可以把本 體翻轉 90 度，連桿豎直向下和豎直向上組成托擺和頂擺兩種形式的倒立擺。
按倒立擺的級數來分：有一級倒立擺、兩級倒立擺、三級倒立擺和四級倒立擺，一級倒立擺常用於控制理論的基礎實驗，多級倒立擺常用於控制算法的研究，倒立擺的級數越高，其控制難度更大，目前，可以實現的倒立擺控制最高為四級倒立擺。
直線倒立擺建模
4.1 直線一級倒立擺的物理模型
系統建模可以分為兩種：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對 象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象並通過傳感器檢測 其可觀測的輸出，應用數學手段建立起系統的輸入－輸出關系。這里面包括輸入 信號的設計選取，輸出信號的精確檢測，數學算法的研究等等內容。機理建模就 是在了解研究對象的運動規律基礎上，通過物理、化學的知識和數學手段建立起
系統內部的輸入－狀態關系。
對於倒立擺系統， 由於其本身是自不穩定的系統， 實驗建模存在一定的困難。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統就是一個典型的運動的剛體系統，可 以在慣性坐標系內應用經典力學理論建立系統的動力學方程。下面我們采用其中的牛頓－歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統的數學模型。
4.1.1 微分方程的推導
在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后， 可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，如圖 4-1 所示。
我們不妨做以下假設：
M 小車質量
m 擺桿質量
b 小車摩擦系數
l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度
I 擺桿慣量
F 加在小車上的力
x 小車位置
圖 4-1 直線一級倒立擺模型
φ 擺桿與垂直向上方向的夾角
θ 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）
圖是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N 和P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已經完全確定，因而 矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。
圖 4-2 小車及擺桿受力分析
仿真結果顯示，系統穩定時間較短，還可以接受。可見，雙閉環PID控制方案較好地實現了小車位置和擺桿角度的雙重穩定，達到了應有的控制目的和要求。而且在調試過程中，我們發現該系統對PID參數的變化具有較低的靈敏度，當指定參數在一定范圍內變化時，控制器均能有效地控制倒立擺並使其穩定地運行。