乘法表問題[動態規划]

問題：

　　定義於字母表∑{a,b,c)上的乘法表如表所示：

　　

　　依此乘法表,對任一定義於∑上的字符串,適當加括號表達式后得到一個表達式。

　　例如,對於字符串x=bbbba,它的一個加括號表達式為(b(bb))(ba)。依乘法表,該表達式的值為a。

　　試設計一個動態規划算法,對任一定義於∑上的字符串x=x1x2…xn，計算有多少種不同的加括號方式,使由x導出的加括號表達式的值為a。

輸入：

　　輸入一個以a,b,c組成的任意一個字符串 str。

輸出：

　　計算出的加括號方式數。

分析：

　　設常量a,b,c 分別為 1, 2 ,3 。n 為字符串的長度。

　　設字符串的第 i 到 第 j 位乘積為 a 的加括號法有 result[i][j][a] 種，

　　　　字符串的第 i 到 第 j 位乘積為 b 的加括號法有 result[i][j][b] 種,

　　　　字符串的第 i 到 第 j 位乘積為 c 的加括號法有 result[i][j][c] 種。

　　　則原問題的解是： result[i][n][a] 。

　　　設 k 為 i 到 j 中的某一個字符，則對於 k 從 i 到 j ：

　　　　　　　　 　　result[i][j][a] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][a];
               　　result[i][j][b] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][a] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][b]; 　　result[i][j][c] += result[i][k][b] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][c];
　　　　　　　　　　

 

算法思路：

　　初始化

for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        //初始化
        result[i][i][a] = (str[i-1] == 'a' ? 1 : 0);
        result[i][i][b] = (str[i-1] == 'b' ? 1 : 0);
        result[i][i][c] = (str[i-1] == 'c' ? 1 : 0);
    }

 　　　接着從長度為 2 的子字符串計算，直至計算好整串 str 。 

計算順序：

for (int r = 2; r <= n; r++)

    {//接着從長度為 2 的子字符串計算，直至計算好整串 str
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int j = i + r - 1;//計算str[i:j]
            for (int k = i; k <= j; k++)
            {//根據題目中的表，計算加括號法
                result[i][j][a] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][a];
                result[i][j][b] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][a] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][b];
                result[i][j][c] += result[i][k][b] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][c];
            }
        }
    }

  輸出結果：　　

cout << result[1][n][a] << endl;