乘法表问题[动态规划]

问题：

　　定义于字母表∑{a,b,c)上的乘法表如表所示：

　　

　　依此乘法表,对任一定义于∑上的字符串,适当加括号表达式后得到一个表达式。

　　例如,对于字符串x=bbbba,它的一个加括号表达式为(b(bb))(ba)。依乘法表,该表达式的值为a。

　　试设计一个动态规划算法,对任一定义于∑上的字符串x=x1x2…xn，计算有多少种不同的加括号方式,使由x导出的加括号表达式的值为a。

输入：

　　输入一个以a,b,c组成的任意一个字符串 str。

输出：

　　计算出的加括号方式数。

分析：

　　设常量a,b,c 分别为 1, 2 ,3 。n 为字符串的长度。

　　设字符串的第 i 到 第 j 位乘积为 a 的加括号法有 result[i][j][a] 种，

　　　　字符串的第 i 到 第 j 位乘积为 b 的加括号法有 result[i][j][b] 种,

　　　　字符串的第 i 到 第 j 位乘积为 c 的加括号法有 result[i][j][c] 种。

　　　则原问题的解是： result[i][n][a] 。

　　　设 k 为 i 到 j 中的某一个字符，则对于 k 从 i 到 j ：

　　　　　　　　 　　result[i][j][a] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][a];
               　　result[i][j][b] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][a] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][b]; 　　result[i][j][c] += result[i][k][b] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][c];
　　　　　　　　　　

 

算法思路：

　　初始化

for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        //初始化
        result[i][i][a] = (str[i-1] == 'a' ? 1 : 0);
        result[i][i][b] = (str[i-1] == 'b' ? 1 : 0);
        result[i][i][c] = (str[i-1] == 'c' ? 1 : 0);
    }

 　　　接着从长度为 2 的子字符串计算，直至计算好整串 str 。 

计算顺序：

for (int r = 2; r <= n; r++)

    {//接着从长度为 2 的子字符串计算，直至计算好整串 str
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int j = i + r - 1;//计算str[i:j]
            for (int k = i; k <= j; k++)
            {//根据题目中的表，计算加括号法
                result[i][j][a] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][c] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][a];
                result[i][j][b] += result[i][k][a] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][a] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][b] * result[k + 1][j][b];
                result[i][j][c] += result[i][k][b] * result[k + 1][j][a] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][b] + result[i][k][c] * result[k + 1][j][c];
            }
        }
    }

  输出结果：　　

cout << result[1][n][a] << endl;