一切的基礎
點
在二維平面中，點$P$就是坐標$(x,y)$，點集就是一系列坐標的集合$\{P_1,P_2,...,P_n\}$，不過這個集合是有序的（順時針）。
向量
加減運算
$$\vec{P}\pm\vec{Q}=(P_x\pm Q_x,P_y\pm Q_y)$$
模
$$\vert\vec{P}\vert=\sqrt{P_x^2+P_y^2}$$
單位向量
$$\vec{e}=\frac{\vec{P}}{\vert\vec{P}\vert}$$
角度
$$\alpha=arctan(\frac{y}{x})$$
旋轉
$$
\left[\begin{array}{c}
x'\\
y'
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
cos(\alpha) & -sin(\alpha)\\
sin(\alpha) & cos(\alpha)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right]
$$
點積
主要用來判斷角度關系。
$$\vec{P}\cdot\vec{Q}=(P_{x}+Q_{x},P_{y}+Q_{y})$$
叉積
主要用來求面積。
$$
\vec{P}\times\vec{Q}=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{\vec{i}} & \boldsymbol{\vec{j}} & \vec{\boldsymbol{k}}\\
P_{x} & P_{y} & P_{z}\\
Q_{x} & Q_{y} & Q_{z}
\end{array}\right|
$$
物體的表示
我們只實現一類物體——凸幾何體。
幾何屬性
頂點集
凸幾何體固有的幾何外形——$N$個頂點，所以只需要儲存這些頂點即可。
有人問：物體運動后，位置改變了怎么辦？一般而言，要對原始頂點集做矩陣變換，才能得到最終位置。
軸向量
另外，為了便於計算，還需要儲存一些向量——幾何體每條邊的單位向量。
面積
由已知的頂點集可以確定一個幾何體，那如何求其面積？
假設由原點$O$和任意兩個相鄰頂點$P$、$Q$組成三角形，那么這些所有三角形加起來就是幾何形的面積。
現在就是求$\triangle OPQ$的面積了。由叉乘的定義，兩向量叉乘的結果的模就是其相應平行四邊形的面積。
故有$2S=(Q_x-P_x)\times(Q_y+P_y)$。
重心
在這里，物體的密度$\rho$是均勻的。
設頂點數為$n$，頂點$P_1\sim P_n$，故
$$\vec{P_G}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\vec{P_i}$$
物理屬性
質量、速度、位置、受力、密度、角偏、角加速度、扭矩、摩擦系數等。
外觀屬性
美觀起見，給物體添加顏色。
物體的運動
力學令人着迷，用計算機來模擬力學就不那么容易了，萬事開頭難，做仿真還是要從理論學起。
力學無非就是加速度、碰撞、摩擦等內容。不過對物體（剛體）來說，它的運動不是平動就是轉動。
平動
平動部分是較為簡單的，最經典的公式：
- 力$F=ma$
- 速度$v=at$
- 位移$s=vt$
無須多言。
轉動
剛體的轉動可能令人感覺陌生，其實類比平動，大致相同。
平動中，力$F$產生加速度$a$，進而影響速度$v$，進而影響位移$s$。
轉動中，力矩$M$產生角加速度$\alpha$，進而影響角速度$\omega$，進而影響角位移$\theta$。
力矩$M=r\times F$，$r$是力臂，$F$是外力。
但是，力矩$M$產生角加速度$\alpha$，公式是$M=J\alpha$，這里就比平動復雜了。$J$是轉動慣量，也能用$I$表示，類比於質量$m$。
轉動慣量
求幾何體$\{P_1,P_2…P_n\}$的轉動慣量。
根據公式：
$$I=\frac{{m}}{6}\frac{\sum_{i=1}^{n}\left\Vert \vec{P_{i+1}}\times\vec{P_{i}}\right\Vert (\vec{P_{i+1}^2}+\vec{P_{i+1}}\cdot \vec{P_{i}}+\vec{P_i^2})}{\sum_{i=1}^{n}\left\Vert \vec{P_{i+1}}\times\vec{P_{i}}\right\Vert }$$
力的交互
重力
物體在重力場中受到一個恆定方向、恆定大小的力$g$，將它算入總受力。
碰撞
兩個物體間產生碰撞，這是物理引擎最核心的部分之一。
一般來說，要解決這幾個問題：
- 如何檢測到碰撞的產生？
- 如何確定碰撞點及方向？
- 如何做精度修正？
- 如何解決“子彈”問題？
解決了上述幾個問題后，我們就可以求得發生碰撞的兩個物體的總受力和力矩和，從而解析它們將要產生的平動和轉動。
涉及碰撞的內容很多，在后面會講到。
摩擦
物體受空氣阻力和地面摩擦力影響。地面摩擦力對物體產生的影響算入力矩和。
總結
實際上，一個涉及力學的物理引擎要做的最主要的事就是：
求物體所受力和力矩，從而計算它將要發生的平動和轉動。
但如何求得力和力矩？這便是一個很復雜的問題了。像重力可以直接影響物體所受力，摩擦可以直接影響物體所受力矩，這些都很簡單。較為復雜的就是兩個物體間的碰撞了，在這里，物體引擎有一半以上的代碼是用來計算碰撞的。