專業課講了化學動力學反應，還是得記錄一下不然真的會忘記的
eg:設有某個反應物\(a\)會經歷一系列的過程，先生成中間產物\(B\)，再進而轉變成最終產物\(C\)
整個系列的反應可表示為：
\[A \stackrel{k_1}{\longrightarrow} B \stackrel{k_2}{\longrightarrow} C \]
其中\(k_1\)和\(k_2\)分別是\(A_0\)各階段反應的速率常數。如果每個階段涉及到的都是 first-order reaction，我們就可以寫出\(A,B，C\)三者concentration隨\(t\)變化的微分方程。
\[\frac{dA}{dt} = -k_1A (a) \\ \frac{dB}{dt} = k_1A -k_2B (b) \\ \frac{dC}{dt} = k_2B (c) \]
為了打字方便，沒有很規范地把某個物質\(X\)的濃度寫成\([X]\)的形式。所以在方程中出現的代表物質種類這些字母，意指它們各自的濃度,於是待解的微分方程的初始條件為：
\[A(0) = A_0 \\ B(0) = C(0) = 0 \]
之后一次解出上面的三條方程。
\(A\)隨時間變化很容易通過將方程\((a)\)分離變量后，再兩邊積分求出來。
\[\frac{dA}{A} = -k_1dt \\ \int_{A_0}^{A(t)} \frac{dA}{A} = - \int_{0}^{t} k_1 dt \\ lnA - lnA_0 = -k_1t \]
化簡后得到大家都很熟悉的結果，\(A\)的濃度隨時間呈指數遞減:
\[A(t) = A_0e^{-k_1t} \]
把結果代入方程\((b)\)中，可以寫出
\[\frac{dB}{dt} + k_2B = A_0k_1e^{-k_1t} \]
這個方程不能直接分離變量來搞定，需要配湊
\[(\frac{dB}{dt} + k_2B)e^{k_2t} = A_0k_1e^{-k_1t} * e^{k_2t} \\ \frac{d}{dt}(Be^{k_2t}) = A_0k_1e^{-(k1 - k2)t} \\ \int_{B(0) = 0}^{B(t)}d(Be^{k_2t}) = \int_0^tA_0k_1e^{-(k_1-k_2)t}dt \\ Be^{k_2t} = -\frac{A_0k_1}{k_1-k_2}(e^{-(k_1-k_2)t}-1) \]
整理后得到\(B\)的濃度隨時間的變化：
\[B(t) = \frac{A_0k_1}{k_1-k_2}(e^{-k_2t}-e^{-k_1t}) \]
最后把這東西代近方程\((c)\)中，剩下硬着積
\[\frac{dC}{dt} = \frac{A_0k_1k_2}{k_1-k_2}(e^{-k_2t}-e^{-k_1t}) \\ \int_0^CdC=\frac{A_0k_1k_2}{k_1-k_2}\int_0^t(e^{-k_2t}-e^{-k_1t})dt \\ C=\frac{A_0k_1k_2}{k_1-k_2}(-\frac{1}{k_2}(e^{-k_2t} -1) + \frac{1}{k_2}(e^{-k_1t} - 1)) \]
化簡成勉強還能看的最終形式
\[C(t) = A_0(1-\frac{\frac{1}{k_1}e^{-k_1t} - \frac{1}{k_2}e^{-k_2t}}{\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}}) \]
可以畫出以下圖像：
to be continued。。。