遞歸

1. 遞歸概述

遞歸（ recursion）是一種編程技巧，某些情況下，甚至是無可替代的技巧。

遞歸可以大幅簡化代碼，看起來非常簡潔，但遞歸設計卻非常抽象，不容易掌握。通常，我們都是自上而下的思考問題， 遞歸則是自下而上的解決問題——這就是遞歸看起來不夠直觀的原因。那么，究竟什么是遞歸呢？讓我們先從生活中找一個栗子。
我們都有在黑暗的放映廳里找座位的經驗：問問前排的朋友坐的是第幾排，加上一，就是自己當前所處位置的排號。如果前排的朋友不知道自己是第幾排，他可以用同樣的方法得到自己的排號，然后再告訴你。如果前排的前排的朋友也不知道自己是第幾排，他就如法炮制。這樣的推導，不會無限制地進行下去，因為問到第一排的時候，坐在第一排的朋友一定會直接給出答案的。這就是遞歸算法在生活中的應用實例。
關於遞歸，不太嚴謹的定義是“一個函數在運行時直接或間接地調用了自身”。嚴謹一點的話，一個遞歸函數必須滿足下面兩個條件：

至少有一個明確的遞歸結束條件，我們稱之為遞歸出口，也有人喜歡把該條件叫做遞歸基。
有向遞歸出口方向靠近的直接或間接的自身調用（也被稱作遞歸調用）。

遞歸雖然晦澀，亦有規律可循。掌握了基本的遞歸理論，才有可能將其應用於復雜的算法設計中

2. 線性遞歸

我們先從最經典的兩個遞歸算法開始——階乘（factorial）和斐波那契數列（Fibonacci sequence）。幾乎所有討論遞歸算法的話題，都是從從它們開始的。階乘的概念比較簡單，唯一需要說明的是，0的階乘是1而非0。為此，我專門請教了我的女兒，她是數學專業的學生。斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列是這樣定義的：

F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N，N為正整數集）

階乘和斐波那契數列的遞歸算法如下：

def factorial(n):
    if n == 0: # 遞歸出口
        return 1
    return n*factorial(n-1) # 向遞歸出口方向靠近的自身調用

def fibonacci(n):
    if n < 2: # 遞歸出口
        return 1
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) # 向遞歸出口方向靠近的自身調用

這兩個函數的結構都非常簡單，遞歸出口和自身調用清晰明了，

但二者有一個顯著的區別：階乘函數中，只用一次自身調用，而斐波那契函數則有兩次自身調用。
階乘遞歸函數每一層的遞歸對自身的調用只有一次，因此每一層次上至多只有一個實例，且它們構成一個線性的次序關系。此類遞歸模式稱作“線性遞歸”，這是遞歸最基本形式。非線性遞歸（比如斐波那契遞歸函數）在每一層上都會產生兩個實例，時間復雜度為O(n**2），極易導致堆棧溢出。
其實，用循環的方法同樣可以簡潔地寫出上面兩個函數。的確，很多情況下，遞歸能夠解決的問題，循環也可以做到。但是，更多的情況下，循環是無法取代遞歸的。因此，深入研究遞歸理論是非常有必要的。

3. 尾遞歸

接下來，我們將上面的階乘遞歸函數改造一下，仍然用遞歸的方式實現。為了便於比較，我們把兩種算法放在一起。

def factorial_A(n):
    if n == 0: # 遞歸出口
        return 1
    return n*factorial_A(n-1) # 向遞歸出口方向靠近的自身調用

def factorial_B(n, k=1):
    if n == 0: # 遞歸出口
        return k
    k *= n
    n -= 1
    return factorial_B(n,k) # 向遞歸出口方向靠近的自身調用

比較 factorial_A() 和 factorial_B() 的寫法，就會發現很有意思的問題。

factorial_A() 的自身調用屬於表達式的一部分，這意味着自身調用不是函數的最后一步，而是拿到自身調用的結果后，需要再做一次乘法運算；

factorial_B() 的自身調用則是函數的最后一步。像 factorial_B() 函數這樣，當自身調用是整個函數體中最后執行的語句，且它的返回值不屬於表達式的一部分時，這個遞歸調用就是尾遞歸（Tail Recursion）。尾遞歸函數的特點是在回歸過程中不用做任何操作，這個特性很重要，因為大多數現代的編譯器會利用這種特點自動生成優化的代碼。

分別使用 factorial_A() 和 factorial_B() 計算5的階乘，下圖所示的計算過程，清晰展示了尾遞歸的優勢：不用花費大量的棧空間來保存上次遞歸中的參數、局部變量等，這是因為上次遞歸操作結束后，已經將之前的數據計算出來，傳遞給當前的遞歸函數，這樣上次遞歸中的局部變量和參數等就會被刪除，釋放空間，從而不會造成棧溢出

factorial_A(5)
5 * factorial_A(4)
5 * 4 * factorial_A(3)
5 * 4 * 3 * factorial_A(2)
5 * 4 * 3 * 2 * factorial_A(1)
5 * 4 * 3 * 2 * 1 * factorial_A(0)
5 * 4 * 3 * 2 * 1
5 * 4 * 3 * 2
5 * 4 * 6
5 * 24
120

factorial_B(5, k=1)
factorial_B(4, k=5)
factorial_B(3, k=20)
factorial_B(2, k=60)
factorial_B(1, k=120)
factorial_B(0, k=120)
120

4.單向遞歸

前文中兩個遞歸函數，不管是階乘還是斐波那契數列，遞歸總是向着遞歸出口方向進行，沒有分支，沒有反復，這樣的遞歸，我們稱之為單向遞歸。在文件遞歸遍歷等應用場合，搜索完一個文件夾，通常要返回至父級目錄，繼續搜索其他兄弟文件夾，這個過程就不是單向的，而是有分叉的、帶回溯的。通常復雜遞歸都不是單向的，算法設計起來就比較困難

import os

def ergodic(folder):
    for root, dirs, files in os.walk(folder):
        for dir_name in dirs:
            print(os.path.join(root, dir_name))
        for file_name in files:
            print(os.path.join(root, file_name))

上面是借助於 os 模塊的 walk() 實現的基於循環的文件遍歷方法。雖然是循環結構，如果不熟悉 walk() 的話，這個函數看起來還是很不直觀。我更喜歡下面的遞歸遍歷方法。

import os

def ergodic(folder):
    for item in os.listdir(folder):
        obj = os.path.join(folder, item)
        print(obj)
        if os.path.isdir(obj):
            ergodic(obj)

5.深度優先與廣度優先

遍歷文件通常有兩種策略：深度優先搜索 DFS（depth-first search） 和廣度優先搜索BFS（breadth-first search） 。顧名思義，深度優先就是優先處理本級文件夾中的子文件夾，遞歸向縱深發展；廣度優先就是優先處理本級文件夾中的文件，遞歸向水平方向發展。

import os

def ergodic_DFS(folder):
    """基於深度優先的文件遍歷"""
    
    dirs, files = list(), list()
    for item in os.listdir(folder):
        if os.path.isdir(os.path.join(folder, item)):
            dirs.append(item)
        else:
            files.append(item)
    
    for dir_name in dirs:
        ergodic(os.path.join(folder, dir_name))
    for file_name  in files
        print(os.path.join(folder, file_name))

def ergodic_BFS(folder):
    """基於廣度優先的文件遍歷"""
    
    dirs, files = list(), list()
    for item in os.listdir(folder):
        if os.path.isdir(os.path.join(folder, item)):
            dirs.append(item)
        else:
            files.append(item)
    
    for file_name  in files
        print(os.path.join(folder, file_name))
    for dir_name in dirs:
        ergodic(os.path.join(folder, dir_name))