標准分數(standard score)也叫z分數(z-score),是一個分數與平均數的差再除以標准差的過程。用公式表示為:
z=(x-μ)/σ。其中x為某一具體分數,
μ為平均數,σ為標准差。
Z值的量代表着原始分數和母體平均值之間的距離,是以標准差為單位計算。在原始分數低於平均值時Z則為負數,反之則為正數。
標准分數的作用和特點:
標准分數可以回答這樣一個問題:"一個給定分數距離平均數多少個標准差?"在平均數之上的分數會得到一個正的標准分數,在平均數之下的分數會得到一個負的標准分數。
標准分數是一種可以看出某分數在分布中相對位置的方法。標准分數能夠真實的反應一個分數距離平均數的相對標准距離。如果我們把每一個分數都轉換成標准分數,那么每一個標准分數會以標准差為單位表示一個具體分數到平均數的距離或離差。將成正態分布的數據中的原始分數轉換為標准分數,我們就可以通過查閱標准分數在正態曲線下面積的表格來得知平均數與標准分數之間的面積,進而得知原始分數在數據集合中的百分等級。[1]
一個數列的各標准分數的平方和等於該數列數據的個數,並且標准分數的標准差和方差都為1。
例如:某中學高(1)班期末考試,已知語文期末考試的全班平均分為73分,標准差為7分,甲得了78分;數學期末考試的全班平均分為80分,標准差為6.5分,甲得了83分。甲哪一門考試成績比較好?
因為兩科期末考試的標准差不同,因此不能用原始分數直接比較。需要將原始分數轉換成標准分數,然后進行比較。
Z(語文)=(78-73)/7=0.71 Z(數學)=(83-80)/6.5=0.46 甲的語文成績在其整體分布中位於平均分之上0.71個標准差的地位,他的數學成績在其整體分布中位於平均分之上0.46個標准差的地位。由此可見,甲的語文期末考試成績優於數學期末考試成績。
由於標准分數不僅能表明原始分數在分布中的地位,它還是以標准差為單位的等距量表,故經過把原始分數轉化為標准分數,可以在不同分布的各原始分數之間進行比較。
特點:
(1)樣本平均值為0,方差為1;
(2)區間不確定,處理后各指標的最大值、最小值不相同;
(3)對於指標值恆定的情況不適用;
(4)對於要求標准化后數據 大於0 的評價方法(如幾何加權平均法)不適用。