Bellman-Ford（可解決負權邊）--時間復雜度優化

Bellman-Ford 可解決帶有負權邊的最短路問題

　　解決負權邊和Dijkstra相比是一個優點，Bellman-Ford的核心代碼只有4行：：

u[],v[],w[] 分別存一條邊的頂點、權值，dis[]存從 1 源點到各個頂點的距離

 

for(i=1;i<=n-1;i++)
    for(j=1;j<=m;j++)
        if(dis[v[j]] > dis[u[j]]+w[j])
            dis[v[j]] = dis[u[j]]+w[j];

 

 

　　願過程：

　　　　　　循環n-1次，把每個頂點每條邊都松弛；

     優化方法：

　　　　　　①，最壞的情況就是循環了n-1次才求出到每個頂點的最短路徑，若果在n-1次之前就已經全部松弛完成，那么后面的循環就是多余

　　　　　　　　優化：

for(k=1;k<=n-1;k++)//共有 n 個頂點，循環n-1次即可
{
        flag = 0;
        for(i=1;i<=m;i++)//對當前所有的邊進行松弛
        {
            if(dis[v[i]] > dis[u[i]]+w[i])
            {
                dis[v[i]] = dis[u[i]]+w[i];
                flag = 1;
            }
        }
        if(flag == 0) break;//松弛也完成，結束
}

 

　　　　  ②，原過程：每次循環松弛過后，都有已經確定了的源點到某點最短的路徑，此后這些頂點的最短路的值就會一直保持不變，不再受后續松弛操作的影響，但是每次還要判斷是否需要松弛，這里浪費了時間。

　　　　　優化：確定一條邊后總邊數減一，把不能進行本次松弛的邊再次后頭存到原數組，松弛成功的邊舍棄，再次松弛時只對未松弛的邊進行操作，m的值會隨着松弛預越來越小，直到全部完成。

for(k=1;k<=n-1;k++)//共有 n 個頂點，循環n-1次即可
    {
        m = M;//重新賦值后的 m 是數組中存儲邊的條數
        s = 1;flag = 0;
        for(i=1;i<=m;i++)//對當前所有的邊進行松弛
        {
            if(dis[v[i]] > dis[u[i]]+w[i])
            {
                dis[v[i]] = dis[u[i]]+w[i];
                M--;    //松弛成功，邊數減一
                flag = 1;
            }
            else//把本次不能進行松弛的邊重新存儲到當前的數組
            {
                u[s] = u[i];
                v[s] = v[i];
                w[s] = w[i];
                s++;
            }
        }
        if(flag == 0) break;//松弛也完成，結束
    }

附完整代碼：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int dis[10],i,k,m,n,s=1,u[10],v[10],w[10],M,flag;
    int inf = 99999999;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    M = m;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);//輸入各邊及權值
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        dis[i] = inf;//初始化為正無窮
    }
    dis[1] = 0;//以 1 為源點

    for(k=1;k<=n-1;k++)//共有 n 個頂點，循環n-1次即可
    {
        m = M;//重新賦值后的 m 是數組中存儲邊的條數
        s = 1;flag = 0;
        for(i=1;i<=m;i++)//對當前所有的邊進行松弛
        {
            if(dis[v[i]] > dis[u[i]]+w[i])
            {
                dis[v[i]] = dis[u[i]]+w[i];
                M--;    //松弛成功，邊數減一
                flag = 1;
            }
            else//把本次不能進行松弛的邊重新存儲到當前的數組
            {
                u[s] = u[i];
                v[s] = v[i];
                w[s] = w[i];
                s++;
            }
        }
        if(flag == 0) break;//松弛也完成，結束
    }

    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("%d ",dis[i]);
    }
    return 0;
}

 

 

 測試數據1：

5 5
2 3 2
1 2 -3
1 5 5
4 5 2
3 4 3

 

運行結果：

0 -3 -1 2 4

 

測試數據2：

5 7
1 2 2
1 5 10
2 3 3
2 5 7
3 4 4
4 5 5
5 3 6

 

運行結果：

0 2 5 9 9