初探數位dp 介紹了數位類統計的基礎知識。以下列出其中的基礎點：
基本問題
統計在區間[l, r]中滿足條件的數的個數
思路
1. [l, r] 將問題轉換為 在[0, r]中滿足條件的個數 - 在[0, l)滿足條件的個數
2. 求解 區間[0, n]滿足條件的個數
- 性質：一個小於n的數m，一定是從高位到低位在某一位小於n的對應位的一個數
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- 遍歷所有小於n的數：從高位到低位枚舉第一次小於n的數位，之后數位的值就不受限制了
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- 遍歷可以構成一棵樹，類似深度優先遍歷。第一個圖是小於35的數，第二個圖是一般情況，i+1的數位比i的大
- 遞歸計算區間[0,n]中滿足條件的數
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F[i, digit, st]表示長度為i，第i位的位為digit，且滿足條件st的數的個數。F[i, digit, st] = F[i, digit, st] + F[i-1, digit', st']
- 動態規划：函數的參數表明了一個狀態
1 void dp(int 當前數的長度len, int 當前數位的值 digit, bool 當前數前面數位都是0 begin_zero, bool 下一個數位的值有限制 islimit) 2 { 3 if(len == 1)//當前數的長度為1 4 { ...//直接討論返回 5 return; 6 } 7 //遍歷下一位的所有取值情況 8 int maxValue = (islimit?n[len]:9);//下一位的最大取值 9 for(int i = 0; i <= maxValue; i++) 10 { 11 bool _begin_zero = (i == 0 && begin_zero); 12 bool _islimit = (i == maxValue); 13 dp(len - 1, i, _begin_zero, _islimit); 14 } 15 }
Tips:
- 假設區間[0, n]中n的位數為 len(n)，初始要從len(n)+1開始。這樣對第len(n)位討論的時候就可以和其它位一樣。
- 計算過程中，只有當數位的值沒有限制時才把結果存入F[i, digit, st]中，否則會缺失一些結果
- 前面的數位都為0和不全為0需要作為兩種狀態存儲
源碼 http://hihocoder.com/problemset/problem/1033
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 #define ll long long int //需要用long long 來進行存放 5 const int mod = 1000000007;//結果的最大值，用於取模 6 struct node{ 7 ll s, n;//s: 各數位交錯和 n：滿足條件的個數 8 }; 9 node dp[21][20][400];//[長度][以哪個數作為開頭][該數的數位交錯和] 10 int bits[21];//存放一個數的各位，低到高存放在0到20 11 ll base[21];//每一數位的基准 比如十位數=base[2]=10 12 13 //len數位長度, dig是首個數字, begin_zero表示從最高位到當前位是否全部為0， limit表示下一位枚舉是否有限制（bit[len-2]或9）， sum是要求的數字和 14 node dfs(int len, int dig, bool begin_zero, bool limit, int sum){ 15 node t;//存放長度為 len的結果 16 t.s = 0, t.n = 0; 17 //超過邊界值 18 if (len <= 0 || len >= 20 || dig < 0 || dig > 9 || sum < -200 || sum >= 200) 19 return t; 20 //返回已有的DP結果，即記憶化搜索 21 if (!limit && dp[len][dig + (begin_zero ? 0 : 10)][sum + 200].n != -1) 22 return dp[len][dig + (begin_zero ? 0 : 10)][sum + 200]; 23 //長度只有一位，就不需要枚舉下一位了，直接討論返回即可 24 if (len == 1){ 25 if (dig != sum) 26 return t; 27 t.n = 1, t.s = sum; 28 return t; 29 } 30 //開始枚舉下一位的數字 31 int end = limit ? bits[len - 2] : 9;//下一位數字的最大值 32 int newsum = dig - sum; 33 node tmp; 34 for (int j = 0; j < end + 1; j++) 35 { 36 if (begin_zero){//前面都是0，接下來的就由當前位決定 j是否為0 37 tmp = dfs(len - 1, j, j == 0, limit && (j == end), sum); 38 } 39 else{//前面不是全為0 40 tmp = dfs(len - 1, j, false, limit && (j == end), newsum); 41 } 42 //將tmp的值累加到t上 43 t.n += tmp.n;//滿足條件的個數 44 //計算滿足條件的長度為 len 的data[len]所有數的和， tmp 是長度為 i-1的data[len-1]所有數的和 45 //每一個： data[len] = dig * base[len] + data[len-1] 且共有n個 46 //t.s = t.s + tmp.n * (dig * base[len]) + tmp.s 增加 %mod 就得到下面的結果 47 t.s = ((t.s + tmp.s) % mod + ((tmp.n * dig) % mod * base[len]) % mod) % mod; 48 } 49 //當長度為len，且以dig開頭的，數位和為sum 的所有結果都計算完成，才將其進行存儲 50 if (!limit) 51 dp[len][dig + (begin_zero ? 0 : 10)][sum + 200] = t; 52 //dig + (begin_zero ? 0 : 10) 用來區分兩種狀態，（1. 前導都為0；2. 前導包含其它數） 53 return t; 54 } 55 56 int solve(ll n, int s){ 57 if (n <= 0) 58 return 0; 59 int l = 0; 60 for (int i = 0; i < 21; i++) 61 bits[i] = 0; 62 //將n的每一位從低到高放到 bits[0]到bits[l] 中 63 while (n){ 64 bits[l++] = n % 10; 65 n /= 10; 66 } 67 //從l+1開始，比n的長度大1，並且第l+1位數置為0 68 return dfs(l + 1, 0, true, true, s).s; 69 } 70 71 int main(){ 72 ll l, r, s; 73 node t; 74 t.n = -1; 75 t.s = 0; 76 for (int i = 0; i < 21; i++)//長度 77 for (int j = 0; j < 20; j++)//第i位的取值 78 for (int k = 0; k < 400; k++)// i到0 所有位上的交錯和 + 200 79 dp[i][j][k] = t; 80 base[1] = 1; 81 for (int i = 2; i < 21; i++)//base 是作為基准數 比如兩位數需要 *10, 三位數需要*100 82 base[i] = base[i - 1] * 10 % mod; 83 cin >> l >> r >> s; 84 cout << (solve(r, s) - solve(l - 1, s) + mod) % mod << endl; 85 return 0; 86 }