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描述
骨牌，一種古老的玩具。今天我們要研究的是骨牌的覆蓋問題：
我們有一個2xN的長條形棋盤，然后用1x2的骨牌去覆蓋整個棋盤。對於這個棋盤，一共有多少種不同的覆蓋方法呢？
舉個例子，對於長度為1到3的棋盤，我們有下面幾種覆蓋方式：
輸入
第1行：1個整數N。表示棋盤長度。1≤N≤100,000,000
輸出
第1行：1個整數，表示覆蓋方案數 MOD 19999997
- 樣例輸入
-
62247088
- 樣例輸出
-
17748018
當N很小的時候，我們直接通過遞推公式便可以計算。當N很大的時候，只要我們的電腦足夠好，我們仍然可以直接通過遞推公式來計算。
但是我們學算法的，總是這樣直接枚舉不是顯得很Low么，所以我們要用一個好的算法來加速(裝X)。
事實上，對於這種線性遞推式，我們可以用矩陣乘法來求第n項。對於本題Fibonacci數列，我們希望找到一個2x2的矩陣M，使得(a, b) x M = (b, a+b)，其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩陣。
顯然，只需要取M = [0, 1; 1, 1]就可以了：
進一步得到：
那么接下來的問題是，能不能快速的計算出M^n？我們先來分析一下冪運算。由於乘法是滿足結合律的，所以我們有：
不妨將k[1]..k[j]划分的更好一點？
其中(k[1],k[2]...k[j])2表示將n表示成二進制數后每一位的數字。上面這個公式同時滿足這樣一個性質：
結合這兩者我們可以得到一個算法：
1. 先計算出所有的{a^1, a^2, a^4 ... a^(2^j)}，因為該數列滿足遞推公式，時間復雜度為O(logN)
2. 將指數n二進制化，再利用公式將對應的a^j相乘計算出a^n，時間復雜度仍然為O(logN)
則總的時間復雜度為O(logN)
這種算法因為能夠在很短時間內求出冪，我們稱之為“快速冪”算法。
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 typedef long long ll; 7 const ll MOD = 19999997; 8 9 struct matrix { 10 ll a, b, c, d; 11 matrix() : a(0), b(1), c(1), d(1) {} 12 matrix operator * (const matrix &m) const { 13 matrix tmp; 14 tmp.a = (a * m.a + b * m.c) % MOD; 15 tmp.b = (a * m.b + b * m.d) % MOD; 16 tmp.c = (c * m.a + d * m.c) % MOD; 17 tmp.d = (c * m.b + d * m.d) % MOD; 18 return tmp; 19 } 20 }; 21 22 matrix pow(const matrix &a, int n) { 23 matrix tmp; 24 if (n == 0 || n == 1) return tmp; 25 tmp = pow(a, n / 2); 26 if (n & 1) { 27 tmp = tmp * tmp * a; 28 } else { 29 tmp = tmp * tmp; 30 } 31 return tmp; 32 } 33 34 int main() { 35 ll n; 36 matrix a, b; 37 while (cin >> n) { 38 b = pow(a, n); 39 cout << b.d << endl; 40 } 41 return 0; 42 }