一，問題描述
給定兩個字符串，求解這兩個字符串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB
則這兩個字符串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA
二，算法求解
這是一個動態規划的題目。對於可用動態規划求解的問題，一般有兩個特征：①最優子結構；②重疊子問題
①最優子結構
設 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是兩個序列，將 X 和 Y 的最長公共子序列記為LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。因為，我們需要找到X 和 Y中最長的那個公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考慮X的最后一個元素和Y的最后一個元素。
1）如果 xn=ym，即X的最后一個元素與Y的最后一個元素相同，這說明該元素一定位於公共子序列中。因此，現在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)
LCS(Xn-1，Ym-1)就是原問題的一個子問題。為什么叫子問題？因為它的規模比原問題小。（小一個元素也是小嘛....）
為什么是最優的子問題？因為我們要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最長公共子序列啊。。。最長的！！！換句話說，就是最優的那個。（這里的最優就是最長的意思）
2）如果xn != ym，這下要麻煩一點，因為它產生了兩個子問題：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)
因為序列X 和 序列Y 的最后一個元素不相等嘛，那說明最后一個元素不可能是最長公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。
LCS(Xn-1，Ym)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...ym)中找。
LCS(Xn，Ym-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(m-1))中找。
求解上面兩個子問題，得到的公共子序列誰最長，那誰就是 LCS（X,Y）。用數學表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}
由於條件 1) 和 2) 考慮到了所有可能的情況。因此，我們成功地把原問題 轉化 成了 三個規模更小的子問題。
②重疊子問題
重疊子問題是啥？就是說原問題 轉化 成子問題后， 子問題中有相同的問題。咦？我怎么沒有發現上面的三個子問題中有相同的啊？？？？
OK，來看看，原問題是：LCS(X,Y)。子問題有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1) ❷LCS(Xn-1，Ym) ❸LCS(Xn，Ym-1)
初一看，這三個子問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的，因為它們只重疊了一大部分。舉例：
第二個子問題：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：問題❶LCS(Xn-1，Ym-1)，為什么？
因為，當Xn-1 和 Ym 的最后一個元素不相同時，我們又需要將LCS(Xn-1，Ym)進行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)
也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。
由於像LCS這樣的問題，它具有重疊子問題的性質，因此：用遞歸來求解就太不划算了。因為采用遞歸，它重復地求解了子問題啊。而且注意哦，所有子問題加起來的個數 可是指數級的哦。。。。
這篇文章中就演示了一個遞歸求解重疊子問題的示例。
那么問題來了，你說用遞歸求解，有指數級個子問題，故時間復雜度是指數級。這指數級個子問題，難道用了動態規划，就變成多項式時間了？？
呵呵噠。。。。
關鍵是采用動態規划時，並不需要去一 一 計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態規划之后，有些子問題 是通過 “查表“ 直接得到的，而不是重新又計算一遍得到的。廢話少說：舉個例子吧！比如求Fib數列。關於Fib數列，可參考：
求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)時，又分解了一系列的小問題....
從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重疊的！！！比如，對於 fib(2)，它就一共出現了三次。如果用遞歸來求解，fib(2)就會被計算三次，而用DP(Dynamic Programming)動態規划，則fib(2)只會計算一次，其他兩次則是通過”查表“直接求得。而且，更關鍵的是：查找求得該問題的解之后，就不需要再繼續去分解該問題了。而對於遞歸，是不斷地將問題分解，直到分解為 基准問題(fib(1) 或者 fib(0))
說了這么多，還是要寫下最長公共子序列的遞歸式才完整。借用網友的一張圖吧：）
c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最長公共子序列的長度。（是長度哦，就是一個整數嘛）。公式的具體解釋可參考《算法導論》動態規划章節
三，LCS JAVA實現
1 public class LCSequence { 2 3 //求解str1 和 str2 的最長公共子序列 4 public static int LCS(String str1, String str2){ 5 int[][] c = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1]; 6 for(int row = 0; row <= str1.length(); row++) 7 c[row][0] = 0; 8 for(int column = 0; column <= str2.length(); column++) 9 c[0][column] = 0; 10 11 for(int i = 1; i <= str1.length(); i++) 12 for(int j = 1; j <= str2.length(); j++) 13 { 14 if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) 15 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; 16 else if(c[i][j-1] > c[i-1][j]) 17 c[i][j] = c[i][j-1]; 18 else 19 c[i][j] = c[i-1][j]; 20 } 21 return c[str1.length()][str2.length()]; 22 } 23 24 //test 25 public static void main(String[] args) { 26 String str1 = "BDCABA"; 27 String str2 = "ABCBDAB"; 28 int result = LCS(str1, str2); 29 System.out.println(result); 30 } 31 }
感覺整個代碼就是直接根據上面的那個遞歸表達式寫的。
①第5行定義一個數組來保存最長公共子序列的長度
②第6行至第9行是初始化。為什么初始化成0？ 因為： c[0,j]表示啥？表示字符串1的長度是0，字符串2的長度是j，這兩個字符串的最長公共子序列的長度是？當然是0 嘍。。。因為，字符串1 根本就沒有嘛。
③第11行至第20行，就是遞歸表達式的程序表示。第16行至第19行，就是： c[i,j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]}
④第21行返回最終結果。為什么是返回 c[str1.length()][str2.length()]？？？看看 c[i][j]表示什么意思，你就知道了。
四，參考資料
https://www.zhihu.com/question/23995189
http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/11/11/2764625.html
http://www.hawstein.com/posts/dp-knapsack.html