求兩個字符串的不連續的公共字串

無論題目怎么樣，始終有一個宗旨，那就是一步一步接近結果，最后你會發現一個最終最優化的解題思路，如果你直接看最優解題思路，會比較突兀，理解起來不是很好，一步一步想，會感覺水到渠成，最后你會發現任何已有的算法都基於一個很朴素的想法。

問題描述

給定兩個字符串，求出字符串中最長匹配的公共字符串，而且可以不用相連，比如"abcdef"和"abfce"，我們可以找到“abce”是最長的公共字符串

問題分解

其實上述的問題，可以分解成兩個子問題

（1）首先，找出相連的公共子字符串，比如"abcdef"和"abfce"，結果就是"ab"

（2）其次，再考慮這個問題，即不相連的公共字符串

對第一個子問題的分析

 一拿到這個問題，最暴力的方法就是窮舉，再一一比較字符串。

再想想，我們就可以發現字符串的比較，其實就是比較字符。為了避免重復的比較，我們用一個二維數組記錄之前的比較結果。

下面以"abfcd", "abcdef"為例，加以說明。

[ab, ab]而言，對於的是2，也就是說最長公共字串是2.

[abf, ab]而言，在3*2的矩陣中，最大的數字也是2，那就意味着最長公共長度也是2.

比較字符是否相同，若兩字符相同，則對於的數字是斜對角的數字加一。

至於結果的打印，我們可以通過記錄下最大的長度，再找出所有最大的長度，就可以打印所有的結果了。

這樣就把窮舉簡化成時間復雜度為o（n*m）的問題，其實這就是動態規划，其本質就是用空間記錄之前的比較結果，以此來達到優化時間復雜度的目的。

該算法空間負責度為o（n*m），我們還可以進行再一步優化為o（n）的時間復雜度，其思路跟背包問題相似，至於是逆序，順序都可以，但是為了打印所有結果的話，必須得用逆序實現。

//find the successive common substring
#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 100
int a[N + 5][N + 5];
char s1[N + 5] = "abfcd";
char s2[N + 5] = "abcdef";
void main()
{
    int i, j, k, len1, len2, max, count;
    //---------------o(n * n)
    max = 0;
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            if (s1[i] == s2[j])
            {
                a[i + 1][j + 1] = a[i][j] + 1;
                if (max < a[i + 1][j + 1])
                    max = a[i + 1][j + 1];
            }
            else
            {
                a[i + 1][j + 1] = 0;
            }
        }
    }
    //--------for check
    /**/
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            printf("%d ", a[i + 1][j + 1]);
        }
        puts("");
    }
    
    //----------print the result
    count = 0;
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            if (a[i + 1][j + 1] == max)
            {
                for (k = i - max + 1; k <= i; k++)
                    printf("%c", s1[k]);
                count++;
                puts("");
            }
            
        }
    }
    printf("total : %d\n", count);
    system("pause");
}

 對第二個子問題的分析

了解了第一問的解題思路，稍加修改，就可以解決第二問的問題。

我們第一問是若相同則斜對角加一，若不同，則置為0，這里是若相同，則斜對角加一，若不同則取反斜對角中較大的數。

我們可以這么理解，f(n, m)表示的是長度為n和長度為m的字符串的公共字串的長度，則if str1[n] == str2[m], f(n, m) = f(n - 1, m - 1) + 1; if str1[n] != str2[m], f(n, m) = max(f(n - 1, m), f(n, m - 1))

好了，那接下來的問題就是如何打印的問題，僅僅是以上的數字，我們發現要想打印還得花一些功夫。所以，我們在上面的運算過程中，還記錄了另一個數據，就是方向，就是說當前這個值時從斜對角來的，dir就是1；若是從左邊來的，dir就是2；若是從上面來的，dir就是3。有了這個之后，打印就輕而易舉了。

 

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 100
struct
{
    int len;
    int dir;
}a[N + 5][N + 5];
char s1[N + 5] = "cdbef";
char s2[N + 5] = "abcdef";
char res[N + 5];
void main()
{
    int i, j, k, len1, len2, count;    
    //---------------o(n * n)
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            if (s1[i] == s2[j])
            {
                a[i + 1][j + 1].len = a[i][j].len + 1;
                a[i + 1][j + 1].dir = 1;
            }
            else
            {
                if (a[i][j + 1].len > a[i + 1][j].len)
                {
                    a[i + 1][j + 1].len = a[i][j + 1].len;
                    a[i + 1][j + 1].dir = 3;
                }
                else
                {
                    a[i + 1][j + 1].len = a[i + 1][j].len;
                    a[i + 1][j + 1].dir = 2;
                }
            }
        }
    }
    //--------for check
    /**/
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            printf("%d ", a[i + 1][j + 1].len);
        }
        puts("");
    }
    puts("");
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            printf("%d ", a[i + 1][j + 1].dir);
        }
        puts("");
    }
    
    //----------print the result
    len1 = i;
    len2 = j;
    int len = a[len1][len2].len;
    for (k = len - 1; k >= 0;)
    {
        if (a[i][j].dir == 1)
        {
            res[k] = s1[i - 1];
            k--;
            i--;
            j--;
        }
        else if (a[i][j].dir == 2)
        {
            j--;
        }
        else if (a[i][j].dir == 3)
        {
            i--;
        }
    }

    for (k = 0; k < len; k++)
    {
        printf("%c", res[k]);
    }
    puts("");
    system("pause");
}