下面深入淺出講一下Butterworth原理及其代碼編寫。
1. 首先考慮一個歸一化的低通濾波器（截止頻率是1），其幅度公式如下：
當n->∞時，得到一個理想的低通濾波反饋: ω＜1時，增益為1；ω＞1時，增益為1；ω=1時，增益為0.707。如下圖所示：
將s=jω帶入上式得：
根據以下三個公式
a. 
，這里取σ=0
b. 
c. 拉普拉斯變換在虛軸s=jω上的性質：
可以得到：
因此極點（分母為0的解）為：
根據
和
得到：
因此可以求得極點在單位圓上：
如果k從0開始的話，上式括號里可以寫作2k+n+1：
由於我們只對H(s)感興趣，而不考慮H(-s)。因此低通濾波器的極點全部在負實半平面單位圓上：
該濾波器的傳遞函數為
下面是n=1到4階的極點位置：
例如四階Butterworth低通濾波器的極點所在角度為：
5π/8, 7π/8, 9π/8, 11π/8
極點位置在：
因此傳遞函數為：
1到10階的Butterworth多項式因子表格如下：
以上我們考慮的是幅度-3分貝時的截止頻率為1時的情況：
其它截止頻率可將傳遞函數中的s替換為：
例如二階截止頻率為100的傳遞函數為：
