有趣的天平秤假幣問題

問題描述：

    有12枚硬幣，其中有一枚是假幣，但是不知道是重還是輕。現給定一架沒有砝碼的天枰，問至少需要多少次稱量才能找到這枚硬幣？如何證明給出的方案是最少次數？

 

思路分析：

    我們首先想到的可能是將12枚硬幣分成兩堆，每堆6枚放到天枰上稱量，這樣的得到的結果一定是天枰是傾斜的。得不到任何其他信息，反而白白浪費了一次稱量機會。因此第一次稱量一定是選擇一部分去稱量，利用均分原理，天枰左邊放一部分硬幣，右邊放一部分硬幣，還剩下一部分硬幣。從平均情況考慮，三部分中含有假幣的概率是相等的。因此，第一次稱量中，我們可以將12枚硬幣分成3份，每份4枚硬幣，記為甲、乙、丙。

取甲、乙放到天枰上稱量，一共會出現3種情況：

• 平衡：說明甲乙中都不會含有假幣，則假幣一定在丙中，記丙中的4枚硬幣為A、B、C、D。（依然不能將4枚硬幣分成2份！無意義！！）取A、B放到天枰上稱量，則又會出現三種不同情況：
  • AB平衡：AB不可能為假幣，一定在C、D中。
    • 取C與A量，若平衡，說明D是假幣；若不平衡，說明C是假幣。
  • A重/B重：A為假或B為假。取甲中任意一枚（真幣）與A稱量。若平說明B為假幣，且假幣輕；若依然A重，說明A為假幣且假幣重；
• 左傾：說明假幣在甲或乙中。分別記甲中四枚硬幣為ABCD，乙中四枚硬幣為EFGH，丙中四枚硬幣為IJKL（都是真幣）。取ABE和CDI稱量，則會出現
  • 若ABE與CDI平衡，則說明他們都是真幣。FGH為假幣且假幣輕。取FG稱量：
    • 若平衡，說明H為假幣；
    • 否則FG中誰輕誰是假幣。
  • 若左傾（即ABE重，CDI輕）。第一次稱時，ABCD>EFGH。所以假幣在AB中，且假幣重；
    • A與I在稱量一次，若平則B是假幣，若A重，則A是假幣。
  • 若右傾（即ABE輕，CDI重）。第一次稱時，ABCD>EFGH。所以假幣在CD中，且假幣重；
    • C與I再稱量一次，若平則D是假幣，若C重，則C是假幣。
• 右傾：（與左傾情況完全對稱）

    通過上面的分析可知，無論什么情況，3次稱量就可以得出哪個是假幣。

 

    理論分析：

• 一次天枰稱量能夠得到左傾、右傾、平衡3種情況，如果把一次稱量當做是一次編碼，則它是3進制編碼才能夠表示；
• 我們想要用3進制編碼表示的是：12枚硬幣，且假幣的輕重未知。
  • 每枚硬幣都可能是假幣，共12種情況，假幣有可能比真幣輕，也有可能重，共12*2=24種情況；
  • 3ⁿ>=24 則n至少為3才可以。
• 所以從信息論的角度講，3次稱量是最小值。