本文為閱讀Data Science from Scratch之筆記，文中案例、公式分析皆來自此書
讓我們先來看看生活中的一個小例子。假設有某種疾病D，在10000人中會有1人患此病；又假設對患此病的人進行測試，測試為陽性的比例達到99%，也就是說100名患者中，有99名患者檢測結果皆為陽性（positive）。問題：
在檢測為陽性的情況下，某一個人確定患該病的概率是多少？
不用仔細思考，先用自己的直覺判斷，概率高還是低？再結合數據認真思考，你得到的概率值會是多少呢？我想，或許絕大部分人的第一反應是：在檢測為陽性的情況下，基本就可以確診身患D病了。再結合前面給出的數據進行運算，會非常容易地得到答案為99%。這是顯而易見的吧，100名患者99名都檢測為陽性，那么，——不是反之亦然么？
顯然，直覺欺騙了我們。上述數據營造了一種假象，讓我們忽略了未患D病的人檢測為陽性所占的比例。
讓我們把數據增大，假設有一百萬人。在這個基數下，患D病的人有100人。在這100人中，檢測為陽性的人為99人。現在考慮未患D病的人數，一百萬減去一百，得到的人數為999900。根據檢測陽性的比例，檢測這些人時，會有1%的幾率會檢測為陽性，人數為999900*1%等於9999人。於是，我們可以計算出患D病且檢測為陽性的人在所有檢測為陽性的人中所占的比例為：99/99+9999，結果才不到1%。
這樣結果真讓人莫名驚詫了。換言之，我們可以下結論說：當某個人檢測為陽性時，斷定他（她）患D病的幾率僅僅為0.98%。那么說，這樣的檢測給醫生的參考依據幾乎可以忽略不計啊！為什么會這樣？——從概率學的角度講，這其實是貝葉斯定理（Bayes's Theorem）的體現。
首先我們將患病的事件記做D，檢測為陽性的事件記做T。如果患病的事件沒有發生，則稱為“Not D”，符號記為：￢D。同理，檢測不為陽性的事件可以記為￢T。
如果記D、T都發生的概率為P(D,T)，則有公式：
P(D,T) = P(D|T)/P(T)
其中P(D|T)為當T發生時，D發生的概率，這一概率被稱之為事件D關於事件T的條件概率（Conditional probability）。由於P(D,T) = P(T,D) = P(T|D)/P(D)，因而條件概率的公式可以記為：
P(D|T) = P(D,T)/P(T) = P(T|D)P(D)/P(T)
我們再將事件D拆分為D和￢D，則P(T)可以記為：
P(T) = P(T,D) + P(T,￢D)
這個公式是一個公理，因為在具有D、T兩個事件的情況下，P(T)必然只存在兩種情況，要么在T發生時，D也發生；要么在T發生時，D沒有發生。那么貝葉斯定理就可以記為：
P(D|T) = P(T|D)P(D)/[P(T|D)P(D) + P(T|￢D)(P￢D)]
現在我們可以計算P(D|T)，即測試為陽性時，患D病的概率值了。我們已知：
P(T|D)：當患D病時，檢測為陽性的概率為0.99；
P(D)：10000個人有1個人患D病，則概率為1/10000=0.0001；
P(T|￢D)：沒有患D病時，檢測為陽性的概率為1-0.99=0.01；
P(￢D)：沒有患D病的概率為1-0.0001=0.9999。
計算上面的公式，P(D|T)等於0.98%。符合我們前面的分析。然而我們的直覺呢？簡直潰敗而不成軍了。
注：上面所述D與T之間關系乃理想狀態，判斷一個人是否生病，檢測是否陽性、陰性僅僅為其中一個要素。例如當我們再增加一個症狀事件S后，同時滿足T與S的前提，則D發生的概率值就會顯著增加。