最近有個圖像拼接的課程作業，上面要用到柱面投影，因此將柱面投影的映射函數作下學習記錄。
先從這個示意圖開始分析，所謂柱面投影，是以一個一定半徑和高的圓柱內部中心作為投影中心，將源圖像平攤在圓柱側表面，就像上面圖b（俯視圖）所見一樣，圖像的每一個點與投影中心進行連線，線與圓柱測表面的交點便為該點的柱面投影點，因此關鍵是找出點與其對應投影點的位置關系。
上圖a中已經畫出了坐標系，對於圖像我們只需看xy軸即可，坐標系為圖像的中心，投影后的圖像也是一樣。首先先分析原圖像和投影后圖像的寬高關系，從圖可以看出，投影后圖像的四個角會向內”彎折“，而其最大的高度仍然是原圖像的高（垂直中軸線上的點投影后位置不變），因此投影后圖像的高為原圖像高。而對於寬度，我們從圖b分析，上面的三角形的底長便是原圖像寬，而投影后寬度則為三角形腰與內部圓弧交點的距離，如下圖：
紅色線段便是投影后的寬，三角形的腰為投影半徑（圓柱半徑），三角形頂角為投影角度。設投影角度為θ，半徑為r，則可得出投影寬為2rsin(θ/2)。
這里一般是設定投影角已知，根據投影角來計算半徑，即r=w/(2tan(θ/2))，w為原圖像寬。
接下來計算位置間的函數關系，設原圖像某點坐標為(x,y)，這里要注意圖像是以左上角為坐標原點，因此要轉換到以中心為原點的坐標系，所以坐標為(x-w/2,y-h/2)，w、h為原圖像的寬高，設該點投影后坐標為(x',y')，則轉換坐標系為(x'-w'/2,y-h'/2)。前面已經得出w'=2rsin(θ/2)，h'=h。先看x坐標的關系，從俯視圖圖b分析，上面的p點為原圖像點在x軸的位置，對應的投影點為其與投影中心O的連線與圓弧的交點，因此可以得出x'-w'/2=arctan((x-w/2)/r)*r。解出x'即可。
對於y'的計算，我們看圖c這是圓柱的一個剖面圖，看下面的一個注解：
如上圖說明的原圖像點與投影點的位置，P和P‘分別對應原圖和投影后圖的水平中心軸上的點，也就是說得出里外三角形高的相似關系，就能求出y'，從上圖看出OP'距離為半徑r，OP就是圖b的OP長，設其為k，則k=sqrt((x-w/2)²+r²)。根據三角形相似性：(y-h/2)/(y'-h'/2)=k/r。可解出y'。
最后，解得x'，y'的公式如下：
得出了投影后圖像的寬高以及投影點的坐標關系式，我們便可以用插值的方法生成柱面投影圖像了。