MST性質（用於構造最小生成樹）

描述：假設N=（V，{E}）是一個連通網，U是頂點集V的一個非空子集。若（u，v）是一條具有最小權值（代價）的邊，其中u∈U，v∈V-U，則必存在一棵包含邊（u，v）的最小生成樹。

證明：

       假設網N的任何一棵最小生成樹都不包含（u，v）。設T是連通網上的一棵最小生成樹，當邊（u，v）加入到T中時，由生成樹的定義，T中必存在一天包含（u，v）的回路。另一方面，由於T是生成樹，則在T上必存在另一條邊（u’，v’），其中u’∈U，v’∈V-U，且u和u’之間，v和v’之間均有路徑相通。刪去邊（u’，v’），便可消除上述回路，同時得到另一棵生成樹T’。因為（u，v）的代價不高於（u’，v’），則T’的待機亦不高於T，T’是包含（u，v）的一棵最小生成樹。由此和假設矛盾。

Prim算法：

    假設 N=（V，{E}）是連通網，TE是N上最小生成樹中邊的集合。算法從U={u_o}（u_o∈V），TE{}開始，重復執行下述操作：在所有u∈U，v∈V-U的邊（u，v）∈E中找一條代價最小的邊（u_o，v_o）並入集合TE，同時v_o並入U，直至U=V為止。此時TE中必有n-1條邊，則T=（V，{TE}）為N的最小生產數。

 

Kruskal算法：

    假設連通網N=（V，{E}），則令最小生成樹的初始狀態為只有n個頂點而無邊的非連通圖T=（V，{}），圖中每個頂點自成一個連通分量。在E中選擇代價最小的邊，若該邊依附的頂點落在T不同的連通分量上，則將此邊加入到T中，否則舍去此邊而選擇下一條代價最小的邊。依次類推，直至T中所有頂點都在同一連通分量上為止。