0. 數據結構圖文解析系列
| 數據結構系列文章 |
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| 數據結構圖文解析之：隊列詳解與C++模板實現 |
| 數據結構圖文解析之：樹的簡介及二叉排序樹C++模板實現. |
| 數據結構圖文解析之：AVL樹詳解及C++模板實現 |
| 數據結構圖文解析之：二叉堆詳解及C++模板實現 |
1. 二叉堆的定義
二叉堆是一種特殊的堆，二叉堆是完全二叉樹或近似完全二叉樹。二叉堆滿足堆特性：父節點的鍵值總是保持固定的序關系於任何一個子節點的鍵值，且每個節點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆。
當父節點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為最大堆。 當父節點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為最小堆。
2. 二叉堆的存儲
二叉堆一般使用數組來表示。請回憶一下二叉樹的性質，其中有一條性質：
性質五：如果對一棵有n個節點的完全二叉樹的節點按層序編號（從第一層開始到最下一層，每一層從左到右編號，從1開始編號），對任一節點i有：
- 如果i=1 ，則節點為根節點，沒有雙親。
- 如果2 * i > n ，則節點i沒有左孩子 ；否則其左孩子節點為2*i . （n為節點總數）
- 如果2 * i+1>n ，則節點i沒有右孩子；否則其右孩子節點為2*1+1.
簡單來說：
- 如果根節點在數組中的位置是1，第n個位置的子節點分別在2n 與 2n+1，第n個位置的雙親節點分別在⌊i /2⌋。因此，第1個位置的子節點在2和3.
- 如果根節點在數組中的位置是0，第n個位置的子節點分別在2n+1與2n+2，第n個位置的雙親節點分別在⌊（i-1） /2⌋。因此，第0個位置的子節點在1和2.
得益於數組的隨機存儲能力，我們能夠很快確定堆中節點的父節點與子節點。
下面以大頂堆展示一下堆的數組存儲。
在本文中，我們以大頂堆為例進行堆的講解。本文大頂堆的根節點位置為0.
3. 二叉堆的具體實現
在二叉堆上可以進行插入節點、刪除節點、取出堆頂元素等操作。
3.1 二叉堆的抽象數據類型
/*大頂堆類定義*/
template <typename T>
class MaxHeap
{
public:
bool insert(T val); //往二叉堆中插入元素
bool remove(T data); //移除元素
void print(); //打印堆
T getTop(); //獲取堆頂元素
bool createMaxHeap(T a[], int size);//根據指定的數組來創建一個最大堆
MaxHeap(int cap = 10);
~MaxHeap();
private:
int capacity; //容量，也即是數組的大小
int size; //堆大小，也即是數組中有效元素的個數
T * heap; //底層的數組
private:
void filterUp(int index); //從index所在節點，往根節點調整堆
void filterDown(int begin ,int end ); //從begin所在節點開始，向end方向調整堆
};
- 注意capacity與size的區別。capacity指的是數組的固有大小。size值數組中有效元素的個數，有效元素為組成堆的元素。
- heap為數組。
3.2 二叉堆的插入
在數組的最末尾插入新節點，然后自下而上地調整子節點與父節點的位置：比較當前結點與父節點的大小，若不滿足大頂堆的性質，則交換兩節點，從而使當前子樹滿足二叉堆的性質。時間復雜度為O(logn)。
當我們在上圖的堆中插入元素12：
調整過程：
- 節點12添加在數組尾部，位置為11；
- 節點12的雙親位置為⌊11/2⌋ = 5，即節點6；節點12比節點6大，與節點6交換位置。交換后節點12的位置為5.
- 節點12的雙親位置為⌊ 5 /2⌋ = 2,即節點9；節點12比節點9大，與節點9交換位置。交換后節點12的位置為2.
- 節點12的雙親位置為⌊2/2⌋ = 1，即節點11；節點12比節點11大，與節點11交換位置。交換后節點12的位置為1.
- 12已經到達根節點，調整過程結束。
這個從下到上的調整過程為：
/*從下到上調整堆*/
/*插入元素時候使用*/
template <typename T>
void MaxHeap<T>::filterUp(int index)
{
T value = heap[index]; //插入節點的值，圖中的12
while (index > 0) //如果還未到達根節點，繼續調整
{
int indexParent = (index -1)/ 2; //求其雙親節點
if (value< heap[indexParent])
break;
else
{
heap[index] = heap[indexParent];
index = indexParent;
}
}
heap[index] = value; //12插入最后的位置
};
在真正編程的時候，為了效率我們不必進行節點的交換，直接用父節點的值覆蓋子節點。最后把新節點插入它最后的位置即可。
基於這個調整函數，我們的插入函數為：
/*插入元素*/
template <typename T>
bool MaxHeap<T>::insert(T val)
{
if (size == capacity) //如果數組已滿，則返回false
return false;
heap[size] = val;
filterUp(size);
size++;
return true;
};
3.3 二叉堆的刪除
堆的刪除是這樣一個過程：用數組最末尾節點覆蓋被刪節點，再從該節點從上到下調整二叉堆。我們刪除根節點12：
可能有人疑惑，刪除后數組最末尾不是多了一個6嗎？
的確，但我們把數組中有效元素的個數減少了一，最末尾的6並不是堆的組成元素。
這個從上到下的調整過程為：
/*從上到下調整堆*/
/*刪除元素時候使用*/
template<typename T>
void MaxHeap<T>::filterDown(int current,int end)
{
int child = current * 2 + 1; //當前結點的左孩子
T value = heap[current]; //保存當前結點的值
while (child <= end)
{
if (child < end && heap[child] < heap[child+1])//選出兩個孩子中較大的孩子
child++;
if (value>heap[child]) //無須調整；調整結束
break;
else
{
heap[current] = heap[child]; //孩子節點覆蓋當前結點
current = child; //向下移動
child = child * 2 + 1;
}
}
heap[current] = value;
};
基於調整函數的刪除函數：
/*刪除元素*/
template<typename T>
bool MaxHeap<T>::remove(T data)
{
if (size == 0) //如果堆是空的
return false;
int index;
for (index = 0; index < size; index++) //獲取值在數組中的索引
{
if (heap[index] == data)
break;
}
if (index == size) //數組中沒有該值
return false;
heap[index] = heap[size - 1]; //使用最后一個節點來代替當前結點，然后再向下調整當前結點。
filterDown(index,size--);
return true;
};
3.4 其余操作
其余操作很簡單，不在這里啰嗦。
/*打印大頂堆*/
template <typename T>
void MaxHeap<T>::print()
{
for (int i = 0; i < size; i++)
cout << heap[i] << " ";
};
/*獲取堆頂元素*/
template <typename T>
T MaxHeap<T>::getTop()
{
if (size != 0)
return heap[0];
};
/*根據指定的數組來創建一個最大堆*/
template<typename T>
bool MaxHeap<T>::createMapHeap(T a[], int size)
{
if (size > capacity) // 堆的容量不足以創建
return false;
for (int i = 0; i < size; i++)
{
insert(a[i]);
}
return true;
};
4. 二叉堆代碼測試
測試代碼：
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
MaxHeap<int> heap(11);
//逐個元素構建大頂堆
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
heap.insert(i);
}
heap.print();
cout << endl;
heap.remove(8);
heap.print();
cout << endl;
//根據指定的數組創建大頂堆
MaxHeap<int> heap2(11);
int a[10] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 };
heap2.createMaxHeap(a, 10);
heap2.print();
getchar();
return 0;
}
運行結果：
9 8 5 6 7 1 4 0 3 2
9 7 5 6 2 1 4 0 3
10 9 6 7 8 2 5 1 4 3
5. 大頂堆、小頂堆完整代碼下載
二叉堆完整代碼：https://github.com/huanzheWu/Data-Structure/blob/master/MaxHeap/MaxHeap/MaxHeap.h
小頂堆完整代碼：https://github.com/huanzheWu/Data-Structure/blob/master/MinHeap/MinHeap/MinHeap.h
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