概率中的相關性與獨立性

首先，概率中的相關性指的是線性相關，（見《概率論與數理統計》盛驟 中“協方差與相關系數”一節）。

其次，概率中的(線性)相關性與獨立性是不等價的，獨立=》不（線性）相關；不（線性）相關=》獨立。

其實很好理解，相關有線性相關和非線性相關，在非線性相關的情況下，變量之間仍有聯系，因此不獨立。

（1）獨立=》不相關，很簡單，如下：

（2）不線性相關的情況，兩個變量也不獨立，可以舉個反例。

X 是在-2，-1，1，2上等可能取值的隨機變量，即Pr(X=?)=1/4 for all ?，E(X)=0
Y=X^2，則Pr(Y=1)=1/2，Pr(Y=4)=1/2，E(Y)=5/2
XY=X^3的分布，是在-8，-1，1，8上等可能取值的隨機變量，即Pr(XY=?)=1/4 for all ?，E(XY)=0
E(XY)-EXEY=0
X與Y是不（線性）相關。
但是顯然他們不是獨立的

 

當然， 在某些特殊的情況下，不相關可以推出獨立，這時候不相關和獨立等價

1. X，Y的聯合分布服從二元高斯分布
2. X，Y都是兩值隨機變量（Bernoulli random variable）