最小生成樹問題---Prim算法與Kruskal算法實現（MATLAB語言實現）

　　2015-12-17晚，復習，甚是無聊，閱《復雜網絡算法與應用》一書，得知最小生成樹問題（Minimum spanning tree）問題。記之。

　　何為樹：連通且不含圈的圖稱為樹。

　　圖T=(V,E),|V|=n,|E|=m,下列關於樹的說法等價：

1. T是一個樹。
2. T無圈，且m=n-1。
3. T連通，且m=n-1。
4. T無圈，但每加一新邊記得到唯一一個圈。
5. T連通，但任舍去一邊就不連通。
6. T中任意兩點，有唯一道路相連。

 

　　何為生成樹：若圖G=(V,E)的生成子圖是一棵樹，則稱該樹為圖G的生成樹，也稱支撐樹，簡稱為圖G的數。圖G中屬於生成樹的邊稱為數枝（Branch）。

　　何為最小生成樹：連通圖G=(V,E),每條邊上有非負權L(e)。一棵樹上所有樹枝權的總和，稱為這個生成樹的權。具有最小權的生成樹稱為最小生成樹，也就是說最小支撐樹，簡稱最小樹。

　　私以為，兩種算法其實都是貪心，所以需要嚴格的證明。由於最近時間零散、數學久置未學、對算法領域沒有系統了解。所以不進行深入探討（也就是說證明），僅以一個簡單實例做一個入門級的了解。

　　Prim算法：

　　給定連通賦權圖G=(V,E,W)，其中W為鄰接矩陣，設兩個集合P和Q，其中P用於存放G的最小生成樹中的節點，集合Q存放G的最小G的最小生成樹中的邊。另集合P的初值為P={v₁}(假設構造最小生成樹時從v₁出發)，集合Q的初值為P={空集}。

　　（1）P = {v₁},Q = {空集}；

　　（2）while P ~= Q

　　　　找到最小邊pv,其中p∈P,v∈V-P;

　　　　P = P + {v};

　　　　Q = Q + {pv};

　　　　end

 　　Kruskal算法

　　（1）選e₁∈E(G)，使得w(e₁) = min（選e₁的權值最小）。

　　（2）e₁,e_2,..._,e_i已選好，則從E(G)-{e₁,e_2,..._,e_i}中選取e_i+1,使得G[{e₁,e_2,..._,e_i,e_i+1}]中無圈，且，w(e_i+1) = min。

　　（3）直到選得e_n-1為止。

　　以下是問題：

一個鄉有9個自然村，其間道路及各道路長度如圖所示，各邊上數字代表距離。問如何架設電線最短。

　　

預輸入：

A = zeros(9);
A(1,2:9) = [2 1 3 4 4 2 5 4];
A(2,[3, 9]) = [4 1];
A(3, 4) = 1;
A(4, 5) = 1;
A(5, 6) = 5;
A(6, 7) = 2;
A(7, 8) = 3;
A(8, 9) = 5;

 

Prim算法實現：

A = A+A';
A(A==0) = Inf;
P = zeros(1, 9);
P(1,1) = 1;
V = 1:9;
V_P = V - P;
link = zeros(8,2);
k=1;
while k<9
    p = P(P~=0);
    v = V_P(V_P~=0);
    pv = min(min(A(p,v)));
    [x, y] = find(A==pv);
    for i=1:length(x)
        if  any(P==x(i)) && any(V_P==y(i))集合判斷，關鍵！
            P(1,y(i)) = y(i);
            V_P = V - P;
            link(k, :) = [x(i), y(i)];
            k = k+1;
            break;
        end
    end
end

輸出：

>> link
link =
     1     3
     3     4
     4     5
     1     2
     2     9
     1     7
     7     6
     7     8

 

Kruskal算法實現：

A = sparse(A');
A(A==0) = Inf; 3 B = sparse(9, 9);
link = graphallshortestpaths(B, 'directed', false);
while sum(sum(link)) == Inf%如果不連通，則和無窮大
    ind = find(A==min(min(A)));
    [x, y] = ind2sub(size(A), ind);%尋找最短邊
    for i=1:length(x)
        if link(x(i), y(i))==Inf%判斷是否連通，關鍵！！
            B(x(i), y(i)) = A(x(i), y(i));
            A(x(i), y(i))=Inf;%取差集
        end
    end
    link = graphallshortestpaths(B, 'directed', false);
end

輸出：

B =
   (2,1)        2
   (3,1)        1
   (7,1)        2
   (9,2)        1
   (4,3)        1
   (5,4)        1
   (7,6)        2
   (8,7)        3

 

所以結果是：

　　

（算法實現寫於2015-12-18）

　　下一步工作，用其他語言實現，復雜度分析，深入論證算法正確性。

　　另外，代碼中使用了graphallshortestpaths函數，這是最短路徑的問題。關於最短路徑將在下一篇講述。其實MATLAB有關於求求最小生成樹的函數graphminspantree，關於這一套函數，將結合官網資料，以后做梳理。

 A = sparse(A');
>> graphminspantree(A)
ans =
   (2,1)        2
   (3,1)        1
   (7,1)        2
   (9,2)        1
   (4,3)        1
   (5,4)        1
   (7,6)        2
   (8,7)        3

　　如此，可直接求得最小生成樹。