最小生成樹——Minimum Spanning Tree，是圖論中比較重要的模型，通常用於解決實際生活中的路徑代價最小一類的問題。我們首先用通俗的語言解釋它的定義：
對於有n個節點的有權無向連通圖，尋找n-1條邊，恰好將這n個節點相連，並且這n-1條邊的權值之和最小。
對於MST問題，通常常見的解法有兩種：Prim算法 或者 Kruskal算法+並查集
對於最小生成樹，一定要注意其定義是在無向連通圖的基礎上，如果在有向圖中，那么就需要另外的分析，單純用無向圖中的方法是不能得出正確解的，這一點我在比賽中確實吃過虧
好了，進入正題：
Prim算法：（基於點的貪心思路）由於是基於點的算法，因此適合於稠密圖，一下給出代碼沒有經過堆優化，時間復雜度為O(N^2)
記原圖為G，生成樹圖為MST，其中G的節點個數為n個
算法描述如下：
- 任取G中的一點，加入MST中——這一步的作用是選擇一個節點作為整個算法的起點
- 采用貪心策略，將剛剛加入的節點記為u，以u為中心，檢查與u相連且沒有加入MST的節點（未訪問過的節點），選擇權值最小的邊，如果有多條邊的權值均最小，則任取一條邊。——貪心策略，選擇局部最優
- 將所選擇的邊中，不在MST中的那個節點，加入MST——舉例來說，比如（u，v）是當前與u相連，v不再MST中，且權值最小的邊，則邊（u，v）被選中，並將v加入MST。
- 如果步驟2-3被執行了n-1次，則退出，反之則返回到步驟2。——由於Prim算法初始化時加入了起點，而步驟2-3每執行一次都會加入一個新的節點，所以只需判斷執行次數。
關於算法的正確性證明網上都有證明，這里就不再贅述。
1 //inf為路徑權上界，maxn為圖的臨接矩陣的點數 2 //vis是記錄是否訪問過，cost[i]記錄到達第i個節點的最小代價 3 const int inf=0x7fffffff,maxn=101; 4 int G[maxn][maxn],vis[maxn],cost[maxn],n; 5 //len為MST長度 6 int prim(){ 7 memset(vis,0,sizeof(vis)); 8 //加入起始節點 9 int pos=1,min=inf,len=0,cnt=n; 10 vis[1]=1; 11 for(int v=2;v<=n;v++)cost[v]=G[pos][v]; 12 //加入剩余n-1個節點 13 while(--cnt){ 14 for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i]&&cost[i]<min){ 15 pos=i;min=cost[i]; 16 } 17 len+=min;vis[pos]=1; 18 //以新加入的節點為中心，更新權值信息 19 for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i]&&G[pos][i]<cost[i]) 20 cost[i]=G[pos][i]; 21 min=inf; 22 } 23 return len; 24 }
結合poj上的一道水題來驗證一下Prim的威力吧~親測156k內存0ms過（C++編譯器）
poj1258：http://poj.org/problem?id=1258
Kruskal算法：（基於邊的貪心算法）基於邊的貪心，由圖的性質不難知道，當圖為稠密圖時，邊的數目遠大於點的數目，因此Kruskal+並查集適用於稀疏圖
- 將所有的邊按權值由小到大排序——准備工作，可借助sort（）完成，但是在工程中，如果不知道邊和點的數量關系，還是應該用最小值堆，而不是sort來保證效率，但在競賽中，sort足夠了
- 從非MST中的邊中尋找一條，在不會與現有的MST構成環的前提下，權值最小的邊，加入MST
- 如果已經加入了n-1條邊，則結束，否則返回步驟2
那么從算法描述，我們不難看到，整個算法中的核心部分是，判斷當前權值最小的邊是否會與MST構成環。
那么如何實現這個判斷呢？一種思路是我們通過BFS或者DFS，用遍歷圖的辦法來判斷——然而這個編程復雜度和時間復雜度都很高╮(╯-╰)╭
我們可以從另一個角度進行考量。如果說我們給每個MST一個代表元素（representative），或者說，是一個標記，那么，對於一個不連通的無向圖，每個MST就可以看作一個連通支，而每個連通支其實可以看作一個集合，連通支中的節點就是集合中的元素，而我們只關心一個新的元素是否在原先的集合中。
那么判定元素是否在集合中，我們是不是馬上想到了一種樹形結構——並查集（Union-Find Set）。
並查集的數組實現如下：p[x]表示第x元素的父元素，我們規定當p[x]==x時，表示找到了這一組元素的代表元（representative），
則可以遞歸的進行查找，並同時進行路徑壓縮，因此，不難看出，在均攤意義下，並查集的時間復雜度為O(1)。
1 int find(int x){ return p[x]== x ? x : p[x] = find(p[x]); }
為什么return語句可以這樣和賦值語句連用？
大家想想諸如a=b=c=1;這樣的連續賦值，不難理解，其實賦值語句是有返回值的，並且返回值為左值的值，即先返回c的值1，賦給b，返回b的值1，賦給a，最后返回a的值。
這樣，我們就可以給出kruskal的完整實現了：
1 const int maxn=100; 2 //n為節點個數，m為邊個數,r存儲第i+1小的邊的序號，w存儲第i條邊的權值，u和v存儲第i條邊的節點序號 3 int p[maxn],n,u[maxn],v[maxn],w[maxn],r[maxn],m; 4 //並查集find 5 int find(int x){ return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]); } 6 //間接排序函數 7 int cmp(const int i,const int j){ return w[i]<w[j]; } 8 int kruskal(){ 9 int len=0; 10 for(int i=0;i<n;i++)p[i]=i;//初始化並查集 11 for(int i=0;i<m;i++)r[i]=i;//初始化邊的序號 12 sort(r,r+m,cmp);//<algorithm>中的優化的快排 13 for(int i=0;i<m;i++){ 14 int e=r[i],x=find(u[e]),y=find(v[e]); 15 if(x!=y){ len+=w[e];p[y]=x; }//並查集Union 16 } 17 return len; 18 }
不難看出，Kruskal算法的復雜度為O(ElogE)，基本上都集中在排序了，所以，工程上還可以用優先隊列或者斐波那契堆來減小復雜度
這樣，無向圖中的MST模型就介紹的差不多了，通常這個模型會用於解決資源最省之類的問題，不過，kruskal還沒有實踐過，所以，有時間我再更新一些相關習題吧~