1、什么是逆序數？ 2、用樹狀數組求逆序數的總數 2.1該背景下樹狀數組的含義 2.2如何使用樹狀數組求逆序數總數 2.3 C++實現代碼
1、什么是逆序數？
在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大於后面的數，那么它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序數的總數就是這個排列的逆序數。
2、用樹狀數組求逆序數的總數
2.1該背景下樹狀數組的含義
我們假設一個數組A[n],當A[n]=0時表示數字n在序列中沒有出現過，A[n]=1表示數字n在序列中出現過。A對應的樹狀數組為c[n],則c[n]對應維護的是數組A[n]的內容，即樹狀數組c可用於求A中某個區間的值的和。
樹狀數組的插入函數(假設為 void insert(int i,int x) )的含義：在求逆序數這個問題中，我們的插入函數通常使用為insert( i , 1 )，即將數組A[i]的值加1 (A數組開始應該初始化為0，所以也可以理解為設置A[ i ]的值為1，即將數字i 加入到序列的意思 )。，同時維護c數組的值。
樹狀數組中區間求和函數(假設函數定義為： int getsun(int i ) )的含義：該函數的作用是用於求序列中小於等於數字 i 的元素的個數。這個是顯而易見的，因為樹狀數組c 維護的是數組A的值，則該求和函數即是用於求下標小於等於 i 的數組A的和，而數組A中元素的值要么是0要么是1，所以最后求出來的就是小於等於i的元素的個數。
所以要求序列中比元素a大的數的個數，可以用i - getsum(a)即可( i 表示此時序列中元素的個數)。
2.2如何使用樹狀數組求逆序數總數
首先來看如何減小問題的規模:
要想求一個序列 a b c d,的逆序數的個數，可以理解為先求出a b c的逆序數的個數k1，再在這個序列后面增加一個數d，求d之前的那個序列中值小於d的元素的個數k2，則k1+k2即為序列a b c d的逆序數的個數。
舉個例子加以說明：
假設給定的序列為 4 3 2 1，我們從左往右依次將給定的序列輸入，每次輸入一個數temp時，就將當前序列中大於temp的元素的個數計算出來，並累加到ans中，最后ans就是這個序列的逆序數個數。
| 序列的變化(下划線為新增加元素) |
序列中大於新增加的數字的個數 |
操作 |
| { } |
0 |
初始化時序列中一個數都沒有 |
| {4 } |
0 |
往序列中增加4，統計此時序列中大於4的元素個數 |
| {4 3 } |
1 |
往序列中增加3，統計此時序列中大於3的元素個數 |
| {4 3 2} |
2 |
往序列中增加2，統計此時序列中大於2的元素個數 |
| {4 3 2 1} |
3 |
往序列中增加1，統計此時序列中大於1的元素個數 |
當所有的元素都插入到序列后，即可得到序列{4 3 2 1}的逆序數的個數為1+2+3=6.
2.3 C++實現代碼如下：
#include <iostream> #include <string> using namespace std; #define N 1010 int c[N]; int n; int lowbit(int i) { return i&(-i); } int insert(int i,int x) { while(i<=n){ c[i]+=x; i+=lowbit(i); } return 0; } int getsum(int i) { int sum=0; while(i>0){ sum+=c[i]; i-=lowbit(i); } return sum; } void output() { for(int i=1;i<=n;i++) cout<<c[i]<<" "; cout<<endl; } int main() { while(cin>>n){ int ans=0; memset(c,0,sizeof(c)); for(int i=1;i<=n;i++){ int a; cin>>a; insert(a,1); ans+=i-insert(a);//統計當前序列中大於a的元素的個數 } cout<<ans<<endl; } return 0; }