經典算法題 -- 百錢買百雞

百錢買百雞的問題算是一套非常經典的不定方程的問題，題目很簡單：

公雞5文錢一只，母雞3文錢一只，小雞3只一文錢，用100文錢買一百只雞，其中公雞，母雞，小雞都必須要有。

問：公雞，母雞，小雞要買多少只剛好湊足100文錢。

 

分析：估計現在小學生都能手工推算這套題，只不過我們用計算機來推算，我們可以設公雞為x，母雞為y，小雞為z，

         那么我們可以得出如下的不定方程，

         x+y+z=100,          ①

         5x+3y+z/3=100，  ②

         ①代表100雞和②代表100錢。

        下面再看看x，y，z的取值范圍。

        由於只有100文錢，則5x<100 => 0<x<20, 同理  0<y<33,那么z=100-x-y，

        好，我們已經分析清楚了，下面就可以編碼了。

using System;
using System.Collections.Generic;

public class MyClass
{
    public static void Main()
    {
        //公雞的上線
        for (int x = 0; x < 20; x++)
        {
            //母雞的上線
            for (int y = 0; y < 33; y++)
            {
                //剩余小雞
                int z = 100 - x - y;
                if ((z % 3 == 0) && (x * 5 + y * 3 + z / 3 == 100))
                {
                    System.Console.WriteLine("公雞:{0}只，母雞:{1}只,小雞:{2}只", x, y, z);
                }
            }
        }
        Console.ReadLine();
    }
}

 

結果出來了，確實這道題非常簡單，我們要知道目前的時間復雜度是O(N²),實際應用中這個復雜度是不能讓你接受的，最多最多能讓

人接受的是O(N)。

所以說我們必須要優化一下，從結果中我們可以發現這樣的一個規律：公雞是4的倍數,母雞是7的遞減率，小雞是3的遞增率，規律哪里

來，肯定需要我們推算一下這個不定方程。

    x+y+z=100          ①

    5x+3y+z/3=100    ②

 令②x3-① 可得

    7x+4y=100

=>y=25-(7/4)x          ③

又因為0<y<100的自然數，則可令

=> x=4k                    ④

將④代入③可得

=> y=25-7k               ⑤

將④⑤代入①可知

=> z=75+3k               ⑥

 

根據上面得出的 ④⑤⑥ 式子求K的區間，要保證0<x，y，z<100的話，

0<4k<100  
0<25-7k<100 
0<75+3k<100

滿足上面的三個式子，k的取值范圍只能是1,2,3，下面我們繼續上代碼。

using System;
using System.Collections.Generic;

public class MyClass
{
    public static void Main()
    {
        int x, y, z;
        for (int k = 0; k <= 3; k++)
        {
            x = 4 * k;
            y = 25 - 7 * k;
            z = 75 + 3 * k;
    
            Console.WriteLine("公雞:{0}只，母雞:{1}只,小雞:{2}只", x, y, z);
        }
        Console.ReadLine();
    }
}

這一次我們做到了O(N)的時間復雜度，很不錯，起碼優化到了我能接受的范圍內，或許我們感覺到了數學的魅力，是的，因為....

數學是科學的皇后。皇上自然就是物理了...

 

出處：http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/08/05/2624156.html